# Matematyka — zadanie 102

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/102
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat \(ABCD\). Punkt \(F\) jest środkiem krawędzi \(AD\), odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że \(|AE|=15\), \(|BE|=17\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy długość boku kwadratu jako $$a = |AD| = |AB|$$

Punkt $$F$$ jest środkiem $$AD$$, więc $$|AF| = |FD| = \frac{a}{2}$$

**Krok 1: Znajdźmy wysokość ostrosłupa**

Ponieważ $$EF$$ jest wysokością ostrosłupa, to $$EF \perp ABCD$$.

W trójkącie prostokątnym $$AEF$$ (prostokątnym w $$F$$):
$$|AE|^2 = |AF|^2 + |EF|^2$$
$$15^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2$$
$$225 = \frac{a^2}{4} + h^2$$

gdzie $$h = |EF|$$ to wysokość ostrosłupa.

**Krok 2: Wykorzystajmy drugi warunek z punktem B**

Aby znaleźć $$|BF|$$, zauważmy, że $$F$$ to środek $$AD$$, a $$B$$ to wierzchołek kwadratu.

Współrzędne: niech $$A = (0, 0)$$, $$D = (a, 0)$$, $$B = (0, a)$$, $$C = (a, a)$$.

Wtedy $$F = \left(\frac{a}{2}, 0\right)$$.

Odległość $$BF$$ w podstawie:
$$|BF|^2 = \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - a)^2 = \frac{a^2}{4} + a^2 = \frac{5a^2}{4}$$

W trójkącie prostokątnym $$BEF$$ (prostokątnym w $$F$$):
$$|BE|^2 = |BF|^2 + |EF|^2$$
$$17^2 = \frac{5a^2}{4} + h^2$$
$$289 = \frac{5a^2}{4} + h^2$$

**Krok 3: Rozwiążmy układ równań**

Z pierwszego równania: $$h^2 = 225 - \frac{a^2}{4}$$

Z drugiego równania: $$h^2 = 289 - \frac{5a^2}{4}$$

Przyrównując:
$$225 - \frac{a^2}{4} = 289 - \frac{5a^2}{4}$$
$$225 - 289 = -\frac{5a^2}{4} + \frac{a^2}{4}$$
$$-64 = -\frac{4a^2}{4}$$
$$-64 = -a^2$$
$$a^2 = 64$$
$$a = 8$$

**Krok 4: Obliczmy wysokość**

$$h^2 = 225 - \frac{64}{4} = 225 - 16 = 209$$
$$h = \sqrt{209}$$

**Krok 5: Obliczmy objętość ostrosłupa**

Pole podstawy (kwadratu):
$$P_{podst} = a^2 = 64$$

Objętość ostrosłupa:
$$V = \frac{1}{3} \cdot P_{podst} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot \sqrt{209} = \frac{64\sqrt{209}}{3}$$

**Odpowiedź:** $$\frac{64\sqrt{209}}{3}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{64\sqrt{209}}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/102)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F102)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_