# Matematyka — zadanie 103

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/103
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 6
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|BC| = 30\), \(|AC| = 40\), \(|AB| = 50\). Punkt \(W\) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt \(ABC\) jest styczny do boku \(AB\) w punkcie \(M\). Oblicz długość odcinka \(CM\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Dany trójkąt prostokątny \(ABC\) z bokami \(|BC| = 30\), \(|AC| = 40\), \(|AB| = 50\). Okrąg wpisany jest styczny do boku \(AB\) w punkcie \(M\). Obliczamy \(|CM|\).

**Krok 1: Promień okręgu wpisanego**

Dla trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi \(a = 30\), \(b = 40\) i przeciwprostokątną \(c = 50\):
$$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{30 + 40 - 50}{2} = 10$$

**Krok 2: Punkt styczności \(M\) na boku \(AB\)**

Z własności stycznych do okręgu: odcinki stycznych z jednego punktu do okręgu mają równe długości.

Oznaczmy:
- Okrąg styczny do \(BC\) w punkcie \(P\), do \(AC\) w punkcie \(Q\), do \(AB\) w punkcie \(M\).

Z wierzchołka \(A\): \(|AQ| = |AM|\)
Z wierzchołka \(B\): \(|BP| = |BM|\)
Z wierzchołka \(C\): \(|CP| = |CQ|\)

Wiemy, że: \(|AM| + |BM| = 50\), \(|CP| + |BP| = 30\), \(|CQ| + |AQ| = 40\).

Ponieważ \(|CP| = |CQ| = x\), \(|AM| = |AQ| = 40 - x\), \(|BM| = |BP| = 30 - x\).

Z warunku \(|AM| + |BM| = 50\):
$$(40 - x) + (30 - x) = 50$$
$$70 - 2x = 50$$
$$x = 10$$

Zatem: \(|AM| = 30\), \(|BM| = 20\).

**Krok 3: Współrzędne punktów**

Umieszczamy trójkąt w układzie współrzędnych. Z rysunku: kąt prosty przy \(C\).
- \(C = (0, 0)\)
- \(B = (0, 30)\)
- \(A = (40, 0)\)

Punkt \(M\) leży na \(AB\) tak, że \(|AM| = 30\) i \(|BM| = 20\).

$$M = B + \frac{20}{50}(A - B) = (0, 30) + \frac{2}{5}(40, -30) = (0 + 16, 30 - 12) = (16, 18)$$

**Krok 4: Obliczenie \(|CM|\)**

$$|CM| = \sqrt{16^2 + 18^2} = \sqrt{256 + 324} = \sqrt{580} = 2\sqrt{145}$$

**Odpowiedź:** \(|CM| = 2\sqrt{145}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(2\sqrt{145}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/103)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F103)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_