# Matematyka — zadanie 104

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/104
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB| = 90\) oraz \(|AC| = 5\), \(|BC| = 12\) zbudowano kwadrat \(ACDE\) (patrz rysunek). Punkt \(H\) leży na prostej \(AB\) i kąt \(|\sphericalangle EHA| = 90^\circ\). Oblicz pole trójkąta \(HAE\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Trójkąt prostokątny \(ABC\) z \(|\angle ACB| = 90^\circ\), \(|AC| = 5\), \(|BC| = 12\). Na zewnątrz zbudowano kwadrat \(ACDE\). Punkt \(H\) leży na prostej \(AB\), \(|\angle EHA| = 90^\circ\).

**Krok 1: Układ współrzędnych**

Z rysunku: \(A\) na osi \(Ox\), kwadrat \(ACDE\) po lewej stronie.
- \(A = (0, 0)\)
- \(C = (0, 5)\) (\(AC\) pionowo, \(|AC| = 5\))
- \(B\): kąt prosty przy \(C\), \(|BC| = 12\), więc \(B = (12, 5)\)

Kwadrat \(ACDE\) zbudowany na zewnątrz trójkąta na boku \(AC\):
- \(D = (-5, 5)\)
- \(E = (-5, 0)\)

**Krok 2: Prosta \(AB\)**

Kierunek: \(\vec{AB} = (12, 5)\)
Równanie parametryczne: \((x, y) = (0, 0) + t(12, 5) = (12t, 5t)\)

Równanie prostej: \(y = \frac{5}{12}x\), czyli \(5x - 12y = 0\).

**Krok 3: Punkt \(H\) na prostej \(AB\) taki, że \(\angle EHA = 90^\circ\)**

Punkt \(H\) leży na prostej \(AB\): \(H = (12t, 5t)\).

Wektor \(\vec{HE} = (-5 - 12t, -5t)\)
Wektor \(\vec{HA} = (-12t, -5t)\)

Warunek prostopadłości: \(\vec{HE} \cdot \vec{HA} = 0\)
$$(-5 - 12t)(-12t) + (-5t)(-5t) = 0$$
$$60t + 144t^2 + 25t^2 = 0$$
$$169t^2 + 60t = 0$$
$$t(169t + 60) = 0$$

\(t = 0\) daje \(H = A\) (odrzucamy).
$$t = -\frac{60}{169}$$

$$H = \left(-\frac{720}{169}, -\frac{300}{169}\right)$$

**Krok 4: Pole trójkąta \(HAE\)**

\(A = (0, 0)\), \(E = (-5, 0)\), \(H = \left(-\frac{720}{169}, -\frac{300}{169}\right)\)

Podstawa \(AE\) leży na osi \(Ox\): \(|AE| = 5\)

Wysokość: odległość \(H\) od osi \(Ox\) to \(\left|-\frac{300}{169}\right| = \frac{300}{169}\)

$$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{300}{169} = \frac{1500}{338} = \frac{750}{169}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{750}{169}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{750}{169}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/104)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F104)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_