# Matematyka — zadanie 105

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/105
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Potęgi i pierwiastki

## Treść

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczymy \(a = 2^{50}\) dla uproszczenia zapisu. Musimy wykazać, że:
$$\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1} < 2^{26}$$

**Krok 1: Podniesienie obu stron do kwadratu**

Podnosimy obie strony nierówności do kwadratu (obie są dodatnie):
$$\left(\sqrt{a + 1} + \sqrt{a - 1}\right)^2 < \left(2^{26}\right)^2$$

Rozwijamy lewą stronę:
$$(\sqrt{a + 1})^2 + 2\sqrt{a + 1}\cdot\sqrt{a - 1} + (\sqrt{a - 1})^2 < 2^{52}$$

$$(a + 1) + 2\sqrt{(a + 1)(a - 1)} + (a - 1) < 2^{52}$$

$$2a + 2\sqrt{a^2 - 1} < 2^{52}$$

**Krok 2: Uproszczenie**

Dzielimy obie strony przez 2:
$$a + \sqrt{a^2 - 1} < 2^{51}$$

Podstawiamy \(a = 2^{50}\):
$$2^{50} + \sqrt{2^{100} - 1} < 2^{51}$$

$$\sqrt{2^{100} - 1} < 2^{51} - 2^{50}$$

$$\sqrt{2^{100} - 1} < 2^{50}(2 - 1)$$

$$\sqrt{2^{100} - 1} < 2^{50}$$

**Krok 3: Ponowne podniesienie do kwadratu**

Podnosimy obie strony do kwadratu:
$$2^{100} - 1 < \left(2^{50}\right)^2$$

$$2^{100} - 1 < 2^{100}$$

$$-1 < 0$$

**Krok 4: Wniosek**

Otrzymaliśmy prawdziwą nierówność \(-1 < 0\).

Ponieważ wszystkie nasze przekształcenia były równoważne (podnosiliśmy do kwadratu liczby dodatnie), wynika z tego, że wyjściowa nierówność jest prawdziwa:
$$\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} < 2^{26}$$

Co kończy dowód. \(\square\)

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/105)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F105)

## Podobne zadania

- [Zadanie 47](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/47) — Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej)
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-4) Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ACB  ma miarę 120°. Ponadto wiadomo, że 10 BC = i 10 7 AB = (zobacz rysunek). Oblicz długość tr
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2024/zad/7) — Rozwiąż równanie \[ x^{3}+5 x^{2}-2 x-10=0 \] Zapisz obliczenia.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-czerwiec-2024/zad/10) — Rozwiąż równanie \[ 4 x^{3}-12 x^{2}-x+3=0 \] Zapisz obliczenia.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_