# Matematyka — zadanie 106

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/106
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

Udowodnij, że jeśli: a) \(x, y\) są liczbami rzeczywistymi, to \(x^2 + y^2 \ge 2xy\). b) \(x, y, z\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(x + y + z = 1\), to \(x^2 + y^2 + z^2 \ge 1/3\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Część a)

Udowodnimy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) zachodzi \(x^2 + y^2 \ge 2xy\).

**Dowód:**

Przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$x^2 + y^2 - 2xy \ge 0$$
$$(x - y)^2 \ge 0$$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x, y \in \mathbb{R}\). \(\square\)

## Część b)

Udowodnimy, że jeśli \(x + y + z = 1\), to \(x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1}{3}\).

**Dowód:**

Z części a) wiemy, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych \(a^2 + b^2 \ge 2ab\). Stosujemy tę nierówność trzykrotnie:
$$x^2 + y^2 \ge 2xy \quad (1)$$
$$y^2 + z^2 \ge 2yz \quad (2)$$
$$x^2 + z^2 \ge 2xz \quad (3)$$

Dodajemy stronami:
$$2(x^2 + y^2 + z^2) \ge 2(xy + yz + xz)$$
$$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + xz \quad (4)$$

Teraz korzystamy z warunku \(x + y + z = 1\). Podnosimy do kwadratu:
$$(x + y + z)^2 = 1$$
$$x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz) = 1$$

Zatem:
$$xy + yz + xz = \frac{1 - (x^2 + y^2 + z^2)}{2}$$

Podstawiamy do (4):
$$x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1 - (x^2 + y^2 + z^2)}{2}$$

Oznaczmy \(S = x^2 + y^2 + z^2\):
$$S \ge \frac{1 - S}{2}$$
$$2S \ge 1 - S$$
$$3S \ge 1$$
$$S \ge \frac{1}{3}$$

Co kończy dowód. \(\square\)

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/106)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F106)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (7 pkt) Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że 3 3 7 2 5 7 2 5 jest liczbą całkowitą. 10 Arkusz II Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że na
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-listopad-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (6 pkt) Dane są zbiory: { } : 5 3 A x R x ∈ ≥ , { } 2 : 9 0 B x R x ∈ ≥ i 1 : 1 1 x C x R x ⎧ ⎫ ∈ ≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory B A, 
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/34) — Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o \(10\) dni od pracownika niewykwalifikowanego. Aby pracę wykonać szybciej, powierzono
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (5 pkt) Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_