# Matematyka — zadanie 107

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/107
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Odcinek \(AD\) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AD| = |CD|\) oraz \(|AB| = |BD|\) (patrz rysunek). Udowodnij, że \(|\sphericalangle ADC| = 5\cdot |\sphericalangle ACD| \) .

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy $$\alpha = |\angle ACD|$$

Będziemy wyrażać wszystkie kąty w funkcji $\alpha$.

## Krok 1: Analiza trójkąta $ACD$

Trójkąt $ACD$ jest równoramienny z $|AD| = |CD|$.

Zatem:
$$|\angle DAC| = |\angle ACD| = \alpha$$

Ze sumy kątów w trójkącie:
$$|\angle ADC| = 180° - \alpha - \alpha = 180° - 2\alpha$$

## Krok 2: Analiza trójkąta $ABD$

Trójkąt $ABD$ jest równoramienny z $|AB| = |BD|$.

Kąt $|\angle ADB|$ jest kątem przyległym do $|\angle ADC|$, więc:
$$|\angle ADB| = 180° - |\angle ADC| = 180° - (180° - 2\alpha) = 2\alpha$$

Ponieważ $|AB| = |BD|$, to:
$$|\angle BAD| = |\angle ADB| = 2\alpha$$

Ze sumy kątów w trójkącie $ABD$:
$$|\angle ABD| = 180° - 2\alpha - 2\alpha = 180° - 4\alpha$$

## Krok 3: Analiza trójkąta $ABC$

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny z $|AC| = |BC|$.

Zatem:
$$|\angle CAB| = |\angle CBA|$$

Mamy:
$$|\angle CAB| = |\angle CAD| + |\angle DAB| = \alpha + 2\alpha = 3\alpha$$

$$|\angle CBA| = |\angle ABD| = 180° - 4\alpha$$

## Krok 4: Równanie z warunku równoramienności

Z warunku $|\angle CAB| = |\angle CBA|$:
$$3\alpha = 180° - 4\alpha$$

$$7\alpha = 180°$$

$$\alpha = \frac{180°}{7}$$

## Krok 5: Weryfikacja tezy

Obliczamy $|\angle ADC|$:
$$|\angle ADC| = 180° - 2\alpha = 180° - 2 \cdot \frac{180°}{7} = 180° - \frac{360°}{7} = \frac{1260° - 360°}{7} = \frac{900°}{7}$$

Sprawdzamy, czy $|\angle ADC| = 5 \cdot |\angle ACD|$:
$$5 \cdot |\angle ACD| = 5\alpha = 5 \cdot \frac{180°}{7} = \frac{900°}{7}$$

Rzeczywiście:
$$|\angle ADC| = \frac{900°}{7} = 5 \cdot \frac{180°}{7} = 5 \cdot |\angle ACD|$$

$$\boxed{|\angle ADC| = 5 \cdot |\angle ACD|}$$

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/107)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F107)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_