# Matematyka — zadanie 108

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/108
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku \(O\) i średnicach odpowiednio \(AB\) i \(CD\) (punkty \(A, B, C, D\) i \(O\) są współliniowe). Punkt \(P\) leży na wewnętrznym półokręgu, punkt \(R\) leży na zewnętrznym półokręgu, punkty \(O, P\) i \(R\) są współliniowe. Udowodnij, że \(|\sphericalangle APB| + |\sphericalangle CRD| = 180^\circ\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Analiza sytuacji

Mamy dwa półokręgi współśrodkowe o środku \(O\):
- Wewnętrzny półokrąg o średnicy \(AB\)
- Zewnętrzny półokrąg o średnicy \(CD\)
- Punkty \(A, B, C, D, O\) leżą na jednej prostej
- Punkt \(P\) leży na wewnętrznym półokręgu
- Punkt \(R\) leży na zewnętrznym półokręgu
- Punkty \(O, P, R\) są współliniowe (leżą na promieniu)

## Krok 1: Kąt wpisany oparty na średnicy wewnętrznego okręgu

Punkt \(P\) leży na półokręgu o średnicy \(AB\).

Z twierdzenia Talesa: **kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym**.

Zatem:
$$\sphericalangle APB = 90^\circ$$

## Krok 2: Kąt wpisany oparty na średnicy zewnętrznego okręgu

Punkt \(R\) leży na półokręgu o średnicy \(CD\).

Analogicznie, z twierdzenia Talesa:
$$\sphericalangle CRD = 90^\circ$$

## Krok 3: Suma kątów

Obliczamy sumę:
$$|\sphericalangle APB| + |\sphericalangle CRD| = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

## Uzasadnienie geometryczne

Kluczowe jest to, że:
- Każdy kąt wpisany w półokrąg (oparty na średnicy) ma miarę \(90^\circ\)
- Nie ma znaczenia, gdzie dokładnie leżą punkty \(P\) i \(R\) na swoich półokręgach
- Współliniowość punktów \(O, P, R\) nie wpływa na miary kątów \(\sphericalangle APB\) i \(\sphericalangle CRD\), ponieważ każdy z tych kątów jest wyznaczony tylko przez położenie wierzchołka na półokręgu i końce średnicy

## Wniosek

$$|\sphericalangle APB| + |\sphericalangle CRD| = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

co kończy dowód. ∎

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/108)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F108)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_