# Matematyka — zadanie 17

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/17
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Prosta o równaniu \( y=a \) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=-x^2+6x-10 \) . Wynika stąd, że

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Szukamy wartości \(a\), dla której prosta \(y = a\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji \(f(x) = -x^2 + 6x - 10\).

**Krok 1: Warunek na jeden punkt wspólny**

Prosta \(y = a\) jest pozioma. Ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą wtedy i tylko wtedy, gdy \(a\) jest wartością wierzchołka paraboli (bo parabola z ujemnym współczynnikiem przy \(x^2\) ma maksimum w wierzchołku).

**Krok 2: Znajdowanie współrzędnej x wierzchołka**

Dla funkcji kwadratowej \(f(x) = -x^2 + 6x - 10\) mamy:
- \(a = -1\)
- \(b = 6\)

Współrzędna x wierzchołka:
$$x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$

**Krok 3: Obliczanie wartości funkcji w wierzchołku**

$$f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 10$$

$$f(3) = -9 + 18 - 10$$

$$f(3) = -1$$

**Krok 4: Wniosek**

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((3, -1)\).

Zatem prosta \(y = a\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji, gdy \(a = -1\).

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/17)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F17)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_