# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \sin \alpha =\frac{1}{4} \) . Wówczas

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-pp-treningowe-28.png]

Korzysta się z jedynki trygonometrycznej, aby wyznaczyć \(\cos \alpha\).

**Krok 2: Jedynka trygonometryczna**

Dla dowolnego kąta zachodzi:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

**Krok 3: Podstawienie danych**

Mamy \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\), więc:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{1}{16} + \cos^2 \alpha = 1$$

**Krok 4: Wyznaczenie \(\cos^2 \alpha\)**

$$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$

**Krok 5: Wyznaczenie \(\cos \alpha\)**

$$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$$

Ponieważ kąt \(\alpha\) jest ostry (tj. \(0°  0\), zatem:
$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

**Krok 6: Porównanie z opcjami**

Musimy porównać \(\frac{\sqrt{15}}{4}\) z wartościami z odpowiedzi.

Sprawdźmy \(\frac{3}{4}\):
$$\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = \frac{15}{16} \quad \text{oraz} \quad \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$$

Ponieważ \(\frac{15}{16} > \frac{9}{16}\), to \(\frac{\sqrt{15}}{4} > \frac{3}{4}\), więc opcja A jest fałszywa, a B też.

Sprawdźmy \(\frac{\sqrt{13}}{4}\):
$$\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = \frac{15}{16} \quad \text{oraz} \quad \left(\frac{\sqrt{13}}{4}\right)^2 = \frac{13}{16}$$

Ponieważ \(\frac{15}{16} > \frac{13}{16}\), to \(\frac{\sqrt{15}}{4} > \frac{\sqrt{13}}{4}\).

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_