# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Kąt między cięciwą \( AB \) a styczną do okręgu w punkcie \( A \) ma miarę \( \alpha =62^\circ \). Wówczas:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy przez \( S \) punkt na stycznej do okręgu w punkcie \( A \), tak że \( \angle SAB = 62° \).

**Krok 1: Twierdzenie o kącie między cięciwą a styczną**

Kąt między cięciwą a styczną w punkcie \( A \) jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie, ale z przeciwnej strony.

Jeśli kąt między styczną a cięciwą \( AB \) wynosi \( \alpha = 62° \), to kąt wpisany \( \angle ACB \) (gdzie \( C \) jest punktem na okręgu po przeciwnej stronie cięciwy niż styczna) wynosi również \( 62° \).

**Krok 2: Określenie kąta \( \beta \)**

Z kontekstu zadania wynika, że \( \beta \) to prawdopodobnie kąt wpisany po drugiej stronie cięciwy \( AB \).

Punkty \( A \), \( B \) dzielą okrąg na dwa łuki. Jeśli kąt wpisany z jednej strony (tam gdzie styczna) wynosi \( 62° \), to jest oparty na krótszym łuku.

**Krok 3: Wykorzystanie własności kątów wpisanych**

Suma kątów wpisanych opartych na dopełniających się łukach wynosi \( 180° \) tylko gdy są oparte na łuku półokręgu.

Kąt środkowy odpowiadający łukowi, na którym oparty jest kąt \( 62° \):
$$\text{kąt środkowy} = 2 \cdot 62° = 124°$$

**Krok 4: Wyznaczenie \( \beta \)**

Kąt \( \beta \) jest kątem wpisanym opartym na łuku dopełniającym do pełnego okręgu:
$$\text{kąt środkowy dla } \beta = 360° - 124° = 236°$$

Jednak jeśli \( \beta \) jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy \( 124° \), ale widziany z punktu po drugiej stronie cięciwy wewnątrz koła, to:
$$\beta = \frac{360° - 124°}{2} = \frac{236°}{2} = 118°$$

Ale jeśli \( \beta \) to bezpośrednio kąt środkowy odpowiadający kątowi \( 62° \):
$$\beta = 2 \cdot 62° = 124°$$

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_