# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa \( 40^\circ \). Miara kąta przy krótszej podstawie jest równa.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-pp-treningowe-32.png]

Oznaczmy miary kątów przy ramionach trapezu równoramiennego.

**Krok 2: Własności trapezu równoramiennego**

W trapezie równoramiennym:
- Kąty przy tej samej podstawie są równe
- Suma kątów przy ramieniu wynosi \(180^\circ\) (bo są to kąty jednostronne przy podstawach równoległych)

**Krok 3: Oznaczenie kątów**

Niech:
- \(\alpha\) = miara kąta przy dłuższej podstawie
- \(\beta\) = miara kąta przy krótszej podstawie

Z własności trapezu równoramiennego przy tym samym ramieniu:
$$\alpha + \beta = 180^\circ$$

**Krok 4: Wykorzystanie warunku o różnicy kątów**

Z treści zadania różnica miar kątów przy ramieniu wynosi \(40^\circ\).

Ponieważ trapez nie jest równoległobokiem, kąty przy ramieniu są różne. W trapezie kąt przy dłuższej podstawie jest ostry, a przy krótszej podstawie jest rozwarty, czyli \(\beta > \alpha\).

Zatem:
$$\beta - \alpha = 40^\circ$$

**Krok 5: Rozwiązanie układu równań**

Mamy układ:
$$\begin{cases}
\alpha + \beta = 180^\circ \\
\beta - \alpha = 40^\circ
\end{cases}$$

Dodając równania stronami:
$$2\beta = 220^\circ$$
$$\beta = 110^\circ$$

**Krok 6: Sprawdzenie**

Podstawiając do pierwszego równania:
$$\alpha = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

Sprawdzenie różnicy: \(110^\circ - 70^\circ = 40^\circ\) ✓

Kąt przy krótszej podstawie wynosi \(110^\circ\).

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_