# Matematyka — zadanie 65

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/65
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości \(2\) i \(4\), jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha \). Oblicz \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \) .

## Rozwiązanie — sprawnamatura

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości \(2\) i \(4\). Obliczamy \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha\).

**Krok 1: Obliczenie przeciwprostokątnej**

$$c = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

**Krok 2: Wyznaczenie funkcji trygonometrycznych**

Niech \(\alpha\) będzie kątem naprzeciwko boku o długości \(2\) (możemy wybrać dowolny kąt ostry - wynik będzie taki sam).

$$\sin \alpha = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$\cos \alpha = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

**Krok 3: Obliczenie iloczynu**

$$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}$$

**Uwaga:** Gdybyśmy wybrali kąt naprzeciwko boku \(4\), to \(\sin \alpha = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\) i \(\cos \alpha = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\), a iloczyn \(\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}\) - wynik jest taki sam.

**Odpowiedź:** \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{2}{5}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{2}{5}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/65)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F65)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_