# Matematyka — zadanie 66

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/66
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3+2\operatorname{tg}^2\alpha \) .

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-pp-treningowe-66.png]

Dane: \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\)

Szukane: \(3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha\)

**Krok 2: Wyznaczenie \(\cos \alpha\)**

Z tożsamości trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Podstawiamy \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\):
$$\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{1}{16} + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\cos \alpha > 0\), więc:
$$\cos \alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

**Krok 3: Wyznaczenie \(\operatorname{tg}^2 \alpha\)**

Ze wzoru:
$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$$

Zatem:
$$\operatorname{tg}^2 \alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right)^2 = \frac{1}{15}$$

**Krok 4: Obliczenie wartości wyrażenia**

$$3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha = 3 + 2 \cdot \frac{1}{15}$$

$$= 3 + \frac{2}{15}$$

$$= \frac{45}{15} + \frac{2}{15}$$

$$= \frac{47}{15}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{47}{15}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{47}{15}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/66)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F66)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_