# Matematyka — zadanie 67

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/67
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Punkt \(D\) leży na boku BC trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Odcinek \(AD \) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AB| = |AD| = |CD|\). Oblicz miary kątów trójkąta \(ABC\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy miary kątów trójkąta \(ABC\):
- \(\alpha = |\angle CAB| = |\angle CBA|\) (kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego)
- \(\gamma = |\angle ACB|\) (kąt przy wierzchołku)

**Krok 1: Suma kątów w trójkącie ABC**

$$2\alpha + \gamma = 180°$$

**Krok 2: Analiza trójkąta ABD**

Ponieważ \(|AB| = |AD|\), trójkąt \(ABD\) jest równoramienny.

Kąty przy podstawie \(BD\):
$$|\angle ABD| = |\angle ADB| = \alpha$$

Kąt przy wierzchołku \(A\):
$$|\angle BAD| = 180° - 2\alpha$$

**Krok 3: Analiza trójkąta ACD**

Ponieważ \(|AD| = |CD|\), trójkąt \(ACD\) jest równoramienny.

Kąty przy podstawie \(AC\):
$$|\angle CAD| = |\angle ACD| = \gamma$$

Kąt przy wierzchołku \(D\):
$$|\angle ADC| = 180° - 2\gamma$$

**Krok 4: Kąt przy wierzchołku A**

Kąt \(\angle BAC\) można rozłożyć na dwa kąty:
$$\alpha = |\angle BAD| + |\angle CAD|$$
$$\alpha = (180° - 2\alpha) + \gamma$$

**Krok 5: Rozwiązanie układu równań**

Z równania z Kroku 4:
$$\alpha = 180° - 2\alpha + \gamma$$
$$3\alpha = 180° + \gamma$$
$$\gamma = 3\alpha - 180°$$

Podstawiamy do równania z Kroku 1:
$$2\alpha + (3\alpha - 180°) = 180°$$
$$5\alpha = 360°$$
$$\alpha = 72°$$

Stąd:
$$\gamma = 3 \cdot 72° - 180° = 216° - 180° = 36°$$

**Sprawdzenie:**
- Suma kątów: \(72° + 72° + 36° = 180°\) ✓
- \(|\angle BAD| = 180° - 2 \cdot 72° = 36°\) ✓
- \(|\angle CAD| = 36°\), więc \(\alpha = 36° + 36° = 72°\) ✓

**Odpowiedź:**

Miary kątów trójkąta \(ABC\) to: \(\boxed{72°, 72°, 36°}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(72^\circ \), \(72^\circ \), \(36^\circ \)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/67)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F67)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_