# Matematyka — zadanie 76

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/76
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

Wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez \(5\) dają resztę \(2\). Ponadto \(a_3 = 12\). Oblicz \(a_{15}\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Określmy warunki zadania:
- Wyrazy ciągu to liczby naturalne dające resztę 2 przy dzieleniu przez 5
- Ciąg jest arytmetyczny
- \(a_3 = 12\)

**Krok 1: Znajdźmy postać ogólną wyrazów ciągu**

Liczby naturalne dające resztę 2 przy dzieleniu przez 5 to:
$$2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, ...$$

Każda taka liczba ma postać \(a_n = 5k + 2\), gdzie \(k \in \{0, 1, 2, 3, ...\}\)

**Krok 2: Sprawdźmy różnicę ciągu**

Kolejne wyrazy różnią się o 5:
$$7 - 2 = 5, \quad 12 - 7 = 5, \quad 17 - 12 = 5$$

Zatem różnica ciągu arytmetycznego wynosi \(r = 5\)

**Krok 3: Znajdźmy pierwszy wyraz**

Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$$

Dla \(n = 3\):
$$a_3 = a_1 + 2r$$
$$12 = a_1 + 2 \cdot 5$$
$$12 = a_1 + 10$$
$$a_1 = 2$$

**Krok 4: Obliczmy \(a_{15}\)**

$$a_{15} = a_1 + (15-1) \cdot r$$
$$a_{15} = 2 + 14 \cdot 5$$
$$a_{15} = 2 + 70$$
$$a_{15} = 72$$

**Sprawdzenie:** \(72 = 5 \cdot 14 + 2\), więc rzeczywiście daje resztę 2 przy dzieleniu przez 5 ✓

**Odpowiedź:** \(a_{15} = 72\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(a_{15}=72\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/76)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F76)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_