# Matematyka — zadanie 80

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/80
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Na jednej prostej zaznaczono \(3\) punkty, a na drugiej \(4\) punkty. Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów?

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Aby utworzyć trójkąt, musimy wybrać 3 punkty, które **nie są współliniowe** (nie leżą na jednej prostej).

## Krok 1: Obliczenie wszystkich możliwych trójek punktów

Mamy łącznie \(3 + 4 = 7\) punktów.

Liczba wszystkich możliwych trójek punktów (bez żadnych ograniczeń):

$$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35$$

## Krok 2: Odliczenie trójek punktów współliniowych

Trójkąt **nie powstanie**, gdy wybierzemy 3 punkty leżące na tej samej prostej.

**Z pierwszej prostej** (3 punkty):
$$\binom{3}{3} = 1$$

Jest dokładnie jedna trójka punktów z tej prostej.

**Z drugiej prostej** (4 punkty):
$$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4$$

Jest 4 trójki punktów z tej prostej.

## Krok 3: Obliczenie liczby trójkątów

Liczba trójkątów = Wszystkie trójki punktów − Trójki współliniowe

$$35 - 1 - 4 = 30$$

**Odpowiedź: 30**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(30\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/80)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F80)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_