# Matematyka — zadanie 90

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/90
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Stereometria

## Treść

Przekątna sześcianu ma długość \(9\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-pp-treningowe-90.png]

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez \(a\).

**Krok 2: Znajdźmy związek między przekątną sześcianu a jego krawędzią**

Przekątna sześcianu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki (przechodzący przez wnętrze sześcianu).

Aby znaleźć długość przekątnej, rozważmy:
- najpierw przekątną podstawy (kwadratu o boku \(a\))
- następnie trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość sześcianu, przekątną podstawy i przekątną sześcianu

**Krok 3: Obliczmy długość przekątnej podstawy**

Podstawa to kwadrat o boku \(a\), więc jego przekątna ma długość:
$$d_{\text{podst}} = a\sqrt{2}$$

**Krok 4: Wyznaczmy przekątną sześcianu**

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny, w którym:
- jedna przyprostokątna to wysokość sześcianu: \(a\)
- druga przyprostokątna to przekątna podstawy: \(a\sqrt{2}\)
- przeciwprostokątna to przekątna sześcianu: \(d\)

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$d^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2$$
$$d^2 = a^2 + 2a^2$$
$$d^2 = 3a^2$$
$$d = a\sqrt{3}$$

**Krok 5: Obliczmy długość krawędzi**

Wiemy, że \(d = 9\), zatem:
$$a\sqrt{3} = 9$$
$$a = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$$

**Krok 6: Obliczmy pole powierzchni całkowitej**

Sześcian ma 6 ścian, każda o polu \(a^2\):
$$P_c = 6a^2$$
$$P_c = 6 \cdot (3\sqrt{3})^2$$
$$P_c = 6 \cdot 9 \cdot 3$$
$$P_c = 6 \cdot 27$$
$$P_c = 162$$

**Odpowiedź:** Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi \(162\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(162\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/90)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F90)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_