# Matematyka — zadanie 92

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/92
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Stereometria

## Treść

Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu, a jego płaszczyzną podstawy.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-pp-treningowe-92.png]

Rozpatrzmy sześcian o krawędzi długości \(a\).

**Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych**

Umieśćmy sześcian w układzie współrzędnych tak, aby jeden z wierzchołków znajdował się w punkcie \(O = (0, 0, 0)\), a krawędzie biegły wzdłuż osi współrzędnych.

Wierzchołki podstawy dolnej: \((0,0,0)\), \((a,0,0)\), \((a,a,0)\), \((0,a,0)\)

Wierzchołki podstawy górnej: \((0,0,a)\), \((a,0,a)\), \((a,a,a)\), \((0,a,a)\)

**Krok 3: Wyznaczenie przekątnej sześcianu**

Przekątna sześcianu łączy dwa przeciwległe wierzchołki, np. \(A = (0,0,0)\) i \(C = (a,a,a)\).

**Krok 4: Obliczenie długości przekątnej**

Długość przekątnej sześcianu:
$$d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$

**Krok 5: Wyznaczenie przekątnej podstawy**

Przekątna podstawy (dolnej płaszczyzny \(z = 0\)) łączy punkty \((0,0,0)\) i \((a,a,0)\).

Jej długość:
$$d_p = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$

**Krok 6: Trójkąt prostokątny**

Rozpatrzmy trójkąt utworzony przez:
- wierzchołek \(A = (0,0,0)\)
- wierzchołek \(B = (a,a,0)\) (koniec przekątnej podstawy)
- wierzchołek \(C = (a,a,a)\) (koniec przekątnej sześcianu)

W tym trójkącie:
- \(AB = a\sqrt{2}\) (przekątna podstawy)
- \(BC = a\) (krawędź pionowa)
- \(AC = a\sqrt{3}\) (przekątna sześcianu)

Kąt \(\alpha\) między przekątną sześcianu \(AC\) a płaszczyzną podstawy to kąt \(\angle BAC\).

**Krok 7: Obliczenie sinusa**

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) (kąt prosty przy \(B\)):

$$\sin \alpha = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

**Odpowiedź:** $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/92)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F92)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_