# Matematyka — zadanie 93

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/93
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Czworokąty \(ABCD\) i \(APQR\) są kwadratami. Udowodnij, że \(|BP| = |DR|\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Wprowadza się układ współrzędnych z początkiem w punkcie \(A\).

## Ustalenie współrzędnych

Niech bok kwadratu \(ABCD\) ma długość \(a\). Umieszczam punkty kwadratu \(ABCD\):
- \(A = (0, 0)\)
- \(B = (a, 0)\)
- \(C = (a, a)\)
- \(D = (0, a)\)

## Współrzędne punktów kwadratu \(APQR\)

Kwadrat \(APQR\) ma wierzchołek \(A\) wspólny z kwadratem \(ABCD\). Niech bok tego kwadratu ma długość \(b\) i niech kwadrat jest obrócony o kąt \(\alpha\) względem osi \(OX\).

Wtedy:
- \(A = (0, 0)\)
- \(P = (b\cos\alpha, b\sin\alpha)\)
- \(Q = (b\cos\alpha - b\sin\alpha, b\sin\alpha + b\cos\alpha)\)
- \(R = (-b\sin\alpha, b\cos\alpha)\)

## Obliczenie długości \(|BP|\)

$$|BP|^2 = (b\cos\alpha - a)^2 + (b\sin\alpha - 0)^2$$

$$|BP|^2 = b^2\cos^2\alpha - 2ab\cos\alpha + a^2 + b^2\sin^2\alpha$$

$$|BP|^2 = b^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + a^2 - 2ab\cos\alpha$$

$$|BP|^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha$$

## Obliczenie długości \(|DR|\)

$$|DR|^2 = (-b\sin\alpha - 0)^2 + (b\cos\alpha - a)^2$$

$$|DR|^2 = b^2\sin^2\alpha + b^2\cos^2\alpha - 2ab\cos\alpha + a^2$$

$$|DR|^2 = b^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + a^2 - 2ab\cos\alpha$$

$$|DR|^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha$$

## Wniosek

Ponieważ \(|BP|^2 = |DR|^2\) i obie długości są dodatnie, to:

$$|BP| = |DR|$$

co należało udowodnić. \(\square\)

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/93)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F93)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_