# Matematyka — zadanie 94

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/94
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Na boku \(BC\) trójkąta \(ABC\) wybrano punkt \(D\) tak, by \(|\sphericalangle CAD| = |\sphericalangle ABC|\). Odcinek \(AE\) jest dwusieczną kąta \(DAB\). Udowodnij, że \(|AC| = |CE|\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy:
- $$|\angle CAD| = |\angle ABC| = \beta$$
- $$|\angle DAB| = \alpha$$
- $$|\angle BAC| = \alpha + \beta$$

Ponieważ $$AE$$ jest dwusieczną kąta $$DAB$$, to:
$$|\angle DAE| = |\angle EAB| = \frac{\alpha}{2}$$

**Krok 1: Analiza kątów w trójkącie $$ABC$$**

W trójkącie $$ABC$$ suma kątów wynosi $$180°$$:
$$|\angle BAC| + |\angle ABC| + |\angle ACB| = 180°$$
$$(\alpha + \beta) + \beta + |\angle ACB| = 180°$$
$$|\angle ACB| = 180° - \alpha - 2\beta$$

**Krok 2: Analiza kątów w trójkącie $$ACD$$**

W trójkącie $$ACD$$:
$$|\angle CAD| + |\angle ACD| + |\angle ADC| = 180°$$
$$\beta + |\angle ACD| + |\angle ADC| = 180°$$

Ponieważ $$|\angle ACD| = |\angle ACB| = 180° - \alpha - 2\beta$$, mamy:
$$\beta + (180° - \alpha - 2\beta) + |\angle ADC| = 180°$$
$$|\angle ADC| = \alpha + \beta$$

**Krok 3: Kąt $$\angle ADB$$**

Kąty $$\angle ADC$$ i $$\angle ADB$$ są kątami przyległymi, więc:
$$|\angle ADB| = 180° - |\angle ADC| = 180° - (\alpha + \beta)$$

**Krok 4: Analiza kątów w trójkącie $$ABD$$**

W trójkącie $$ABD$$:
$$|\angle DAB| + |\angle ABD| + |\angle ADB| = 180°$$
$$\alpha + \beta + (180° - \alpha - \beta) = 180°$$ ✓

**Krok 5: Kąt $$\angle CAE$$**

$$|\angle CAE| = |\angle CAD| + |\angle DAE| = \beta + \frac{\alpha}{2}$$

**Krok 6: Analiza trójkąta $$ACE$$**

W trójkącie $$ACE$$:
$$|\angle CAE| + |\angle ACE| + |\angle AEC| = 180°$$
$$\left(\beta + \frac{\alpha}{2}\right) + (180° - \alpha - 2\beta) + |\angle AEC| = 180°$$
$$|\angle AEC| = \alpha + \beta - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} + \beta$$

**Krok 7: Wniosek**

Zauważamy, że:
$$|\angle CAE| = \beta + \frac{\alpha}{2} = |\angle AEC|$$

Jeśli dwa kąty w trójkącie są równe, to trójkąt jest równoramienny, a równe są boki leżące naprzeciwko równych kątów.

Ponieważ:
- kąt $$\angle CAE$$ leży naprzeciwko boku $$CE$$
- kąt $$\angle AEC$$ leży naprzeciwko boku $$AC$$

oraz $$|\angle CAE| = |\angle AEC|$$, to:
$$|AC| = |CE|$$

co było do udowodnienia.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/94)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F94)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_