# Matematyka — zadanie 99

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/99
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 6
- działy: Ciągi

## Treść

Liczby \(a, b, c\) tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa \(93\). Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a, b\) i \(c\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Liczby \(a, b, c\) tworzą ciąg geometryczny o sumie \(93\) i jednocześnie są 1., 2. i 7. wyrazem ciągu arytmetycznego.

**Krok 1: Warunki z ciągu geometrycznego**

$$a + b + c = 93 \quad (1)$$
$$b^2 = ac \quad (2)$$

**Krok 2: Warunki z ciągu arytmetycznego**

Jeśli \(a = a_1\), \(b = a_2\), \(c = a_7\), to różnica ciągu arytmetycznego:
$$r = b - a$$

Siódmy wyraz:
$$a_7 = a_1 + 6r = a + 6(b - a) = 6b - 5a$$

Więc:
$$c = 6b - 5a \quad (3)$$

**Krok 3: Rozwiązanie układu**

Z (1) i (3):
$$a + b + 6b - 5a = 93$$
$$-4a + 7b = 93 \quad (4)$$

Z (4): \(a = \frac{7b - 93}{4}\)

Podstawiamy do (2): \(b^2 = ac\), a z (3): \(c = 6b - 5a\):
$$b^2 = a(6b - 5a) = 6ab - 5a^2$$

Podstawiamy \(a = \frac{7b - 93}{4}\):

$$b^2 = 6 \cdot \frac{7b - 93}{4} \cdot b - 5 \cdot \left(\frac{7b - 93}{4}\right)^2$$

$$b^2 = \frac{6b(7b - 93)}{4} - \frac{5(7b - 93)^2}{16}$$

Mnożymy przez \(16\):
$$16b^2 = 24b(7b - 93) - 5(7b - 93)^2$$
$$16b^2 = 168b^2 - 2232b - 5(49b^2 - 1302b + 8649)$$
$$16b^2 = 168b^2 - 2232b - 245b^2 + 6510b - 43245$$
$$16b^2 = -77b^2 + 4278b - 43245$$
$$93b^2 - 4278b + 43245 = 0$$

Dzielimy przez \(3\):
$$31b^2 - 1426b + 14415 = 0$$

$$\Delta = 1426^2 - 4 \cdot 31 \cdot 14415 = 2033476 - 1787460 = 246016$$
$$\sqrt{\Delta} = 496$$

$$b = \frac{1426 \pm 496}{62}$$

$$b_1 = \frac{1922}{62} = 31 \quad \text{lub} \quad b_2 = \frac{930}{62} = 15$$

Dla \(b = 15\): \(a = \frac{105 - 93}{4} = 3\), \(c = 93 - 3 - 15 = 75\)

Sprawdzenie ciągu geometrycznego: \(\frac{15}{3} = 5\), \(\frac{75}{15} = 5\) \(\checkmark\)

Sprawdzenie ciągu arytmetycznego: \(r = 15 - 3 = 12\), \(a_7 = 3 + 6 \cdot 12 = 75\) \(\checkmark\)

Dla \(b = 31\): \(a = \frac{217 - 93}{4} = 31\), \(c = 93 - 31 - 31 = 31\). Ciąg stały \((31, 31, 31)\) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, ale iloraz \(q = 1\), co daje trywialny przypadek. Sprawdzenie z treści: \(a + b + c = 93\) \(\checkmark\), ale w kontekście zadania szukamy nietrivialnego rozwiązania.

**Odpowiedź:** \(a = 3\), \(b = 15\), \(c = 75\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(a=3\), \(b=15\), \(c=75\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/99)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F99)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_