# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2017/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach \(P\) i \(R\), styczne zewnętrznie w punkcie \(C\). Prosta \(AB\) jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\) oraz \(|\sphericalangle APC|=\alpha \) i \(|\sphericalangle ABC|=\beta \) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(\alpha =180^\circ -2\beta \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Musimy dostrzec dwie bardzo ważne rzeczy.

Po pierwsze \(|\sphericalangle CBR|=|\sphericalangle BCR|\), bo trójkąt \(CRB\) jest równoramienny (ramiona mają długość promienia okręgu).

Po drugie \(|\sphericalangle PAB|=90°\) oraz \(|\sphericalangle ABR|=90°\), bo promienie okręgów poprowadzone do stycznej są do niej prostopadłe.

Spróbujmy więc nanieść na nasz rysunek te oznaczenia i jeszcze może dodatkowo zapiszmy, że \(|\sphericalangle PCB|=δ\) (przyda nam się to w kolejnym kroku):

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-166.png)

Krok 2. Wyznaczenie miar kątów \(γ\) oraz \(δ\).

Skoro \(|\sphericalangle ABR|=90°\), to możemy napisać, że:

$$β+γ=90° \\

γ=90°-β$$

Kąt \(δ\) wyznaczymy z własności kątów przyległych:

$$|\sphericalangle PCB|+|\sphericalangle BCR|=180° \\

δ+γ=180°$$

Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wartość \(γ=90°-β\) otrzymamy:

$$δ+90°-β=180° \\

δ=90°+β$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).

Patrzymy na czworokąt \(ABCP\). Suma miar tego czworokąta musi być równa \(360°\), zatem:

$$90°+β+δ+α=360° \\

90°+β+(90°+β)+α=360° \\

180°+2β+α=360° \\

α=180°-2β$$

Udało nam się wyznaczyć dokładnie taką samą wartość kąta \(α\) jak w treści zadania, więc dowód możemy uznać za skończony.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-maj-2017/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-maj-2017%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_