# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2017/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Stereometria

## Treść

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa \(\frac{5\sqrt{3}}{4}\), a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Obliczenie pola pojedynczej ściany bocznej.

Wiemy, że wszystkie ściany boczne mają łączną powierzchnię równą \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Skoro są trzy takie ściany, to każda z nich ma pole powierzchni równe:

$$P_{śb}=\frac{15\sqrt{3}}{4}:3=\frac{5\sqrt{3}}{4}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy \(a\).

W podstawie ostrosłupa mamy trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny. To oznacza, że każda ściana boczna jest trójkątem o podstawie \(a\) oraz wysokości \(h=\frac{5\sqrt{3}}{4}\) (wysokość jest podana w treści zadania). Skoro tak, to z pola trójkąta możemy wyznaczyć długość krawędzi \(a\):

$$P_{śb}=\frac{1}{2}a\cdot h \\

\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/:\frac{5\sqrt{3}}{4} \\

1=\frac{1}{2}a \\

a=2$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DE\).

Odcinek \(DE\) stanowi \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego (czyli odcinka \(DB\)) znajdującego się w podstawie. Ze wzorów na wysokość trójkąta równobocznego wiemy, że:

$$|DB|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\

|DB|=\frac{2\sqrt{3}}{2} \\

|DB|=\sqrt{3}$$

Skoro odcinek \(DE\) ma stanowić \(\frac{1}{3}\) długości odcinka \(DB\), to:

$$|DE|=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.

Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(DES\):

$$|DE|^2+|SE|^2=|DS|^2 \\

\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+|SE|^2=\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2 \\

\frac{3}{9}+|SE|^2=\frac{25\cdot3}{16} \\

\frac{1}{3}+|SE|^2=\frac{75}{16} \\

\frac{16}{48}+|SE|^2=\frac{225}{48} \\

|SE|^2=\frac{225}{48}-\frac{16}{48} \\

|SE|^2=\frac{209}{48} \\

|SE|=\sqrt{\frac{209}{48}}=\frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{209}\cdot\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{627}}{12}$$

Krok 5. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.

Pole trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie obliczymy według wzoru:

$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\sqrt{3}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.

Skoro \(P_{p}=\sqrt{3}\) oraz \(H=\frac{\sqrt{627}}{12}\), to objętość ostrosłupa będzie równa:

$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{627}}{12} \\

V=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{209}\cdot\sqrt{3}}{12} \\

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{209}\cdot3}{12} \\

V=\frac{\sqrt{209}}{12}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-169.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(V=\frac{\sqrt{209}}{12}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-maj-2017/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-maj-2017%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_