# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2019/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(SBC\).

Spójrzmy na trójkąt \(SBC\). Wiemy, że jest to trójkąt równoramienny, bo z treści zadania wynika, że \(SB=BC\). Skoro tak, to kąty przy podstawie tego trójkąta mają identyczną miarę. Jeżeli więc kąt \(ACS\) (czyli tak jakby \(BCS\)) ma miarę \(α\), to kąt \(BSC\) ma także miarę równą \(α\).

To z kolei oznacza, że skoro w trójkącie suma kątów ma być równa \(180°\), to kąt \(SBC\) ma miarę:

$$|\sphericalangle SBC|=180°-α-α=180°-2α$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABS\).

Kąt \(ABS\) i kąt \(SBC\) to kąty przyległe, których łączna miara musi mieć w takim razie \(180°\). Skoro \(|\sphericalangle SBC|=180°-2α\), to znaczy że kąt \(ABS\) musi mieć miarę równą \(2α\). Jeżeli ktoś tego nie dostrzega, to możemy to rozpisać w taki sposób:

$$|\sphericalangle ABS|=180°-|\sphericalangle SBC| \\

|\sphericalangle ABS|=180°-(180°-2α) \\

|\sphericalangle ABS|=180°-180°+2α \\

|\sphericalangle ABS|=2α$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ASB\).

Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABS\). To także trójkąt równoramienny (ramiona \(AS\) oraz \(BS\) są promieniami okręgu), zatem tutaj też kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro więc \(|\sphericalangle ABS|=2α\) to i \(|\sphericalangle SAB|=2α\).

To z kolei oznacza, że trzeci kąt w tym trójkącie, czyli kąt \(ASB\) będzie miał miarę:

$$|\sphericalangle ASB|=180°-2α-2α=180°-4α$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(ASD\).

Suma kątów \(ASD\), \(ASB\) oraz \(BSC\) musi nam dać łącznie \(180°\). Już ustaliliśmy, że \(|\sphericalangle ASB|=180°-4α\) oraz \(|\sphericalangle ASB|=α\). Szukamy miary kąta \(ASD\) zatem:

$$|\sphericalangle ASD|=180°-|\sphericalangle ASB|-|\sphericalangle BSC| \\

|\sphericalangle ASD|=180°-(180°-4α)-α \\

|\sphericalangle ASD|=180°-180°+4α-α \\

|\sphericalangle ASD|=3α$$

Udało nam się udowodnić, że \(|\sphericalangle ASD|=3α\), zatem dowód możemy uznać za zakończony.

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-329.png)

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-maj-2019/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-maj-2019%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_