# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2019/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(8\). Przekątna \(AC\) tego trapezu ma długość \(4\) i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego trapezu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AD\).

Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny którego jeden z kątów ostrych ma miarę \(30°\). Znamy też miarę jednego z boków tego trójkąta, bowiem \(|AC|=4\). Mając miarę kąta oraz jednego boku jesteśmy w stanie obliczyć pozostałe długości boków tego trójkąta, czyli \(AD\) oraz \(DC\). Możemy to zrobić albo z wykorzystaniem własności trójkąta \(30°, 60°, 90°\) albo po prostu z funkcji trygonometrycznych. Korzystając z własności takiego trójkąta wiemy, że bok \(AD\) jest równy połowie długości \(AC\), zatem:

$$|AD|=2$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).

Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABD\). To także jest trójkąt prostokątny w którym znamy długości dwóch boków \(|AD|=2\) oraz \(|AB|=8\), a przeciwprostokątna tego trójkąta to poszukiwana przez nas przekątna trapezu, czyli odcinek \(BD\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa mamy:

$$2^2+8^2=|BD|^2 \\

4+64=|BD|^2 \\

|BD|^2=68 \\

|BD|=\sqrt{68}=\sqrt{4\cdot17}=2\sqrt{17}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-330.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(|BD| = 2\sqrt{17}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-maj-2019/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-maj-2019%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_