# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2019/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Ciągi, średnia arytmetyczna, statystyka

## Treść

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r = -4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\), \(a_6\), jest równa \(16\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_k = -78\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Obliczenie sumy sześciu wyrazów tego ciągu.

Skoro średnia arytmetyczna sześciu wyrazów tego ciągu jest równa \(16\), to znaczy że:

$$\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}}{6}=16 \\

a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=96$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy rozpisać każdy z kolejnych wyrazów w następujący sposób:

\(a_{1} \\

a_{2}=a_{1}+r \\

a_{3}=a_{1}+2r \\

a_{4}=a_{1}+3r \\

a_{5}=a_{1}+4r \\

a_{6}=a_{1}+5r\)

Skoro tak, to możemy zapisać, że:

$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r+a_{1}+3r+a_{1}+4r+a_{1}+5r=96 \\

6a_{1}+15r=96$$

Z treści zadania wynika, że \(r=-4\), zatem mamy:

$$6a_{1}+15\cdot(-4)=96 \\

6a_{1}-60=96 \\

6a_{1}=156 \\

a_{1}=26$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(k\) dla której \(a_{k}=-78\).

Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie który wyraz tego ciągu jest równy \(-78\), wiedząc że \(a_{1}=26\) oraz \(r=-4\). Możemy to zrobić korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W zasadzie w tym wzorze zamiast symbolu \(n\) możemy użyć symbolu \(k\), tak aby dopasować się do treści zapisu z zadania, zatem:

$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \\

-78=26+(k-1)\cdot(-4) \\

-78=26-4k+4 \\

-78=30-4k \\

-4k=-108 \\

k=27$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(a_1 = 26\) i \(k = 27\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-maj-2019/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-maj-2019%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) W nieskończonym ciągu arytmetycznym ( ) na , określonym dla 1 n ≥, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia aryt
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 57](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/57) — Suma \(23\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) dla \(n\ge 1\) jest równa \(1564\). Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów \(a_3\) i \(a_{21}\).

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_