# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2019/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Stereometria

## Treść

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(6\). Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \(\alpha\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.

W podstawie ostrosłupa mamy kwadrat o boku \(6\), zatem jego pole będzie równe:

$$P_{p}=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.

Z treści zadania wynika, że pole powierzchni całkowitej jest cztery razy większe od pola powierzchni podstawy, zatem to pole musi być równe:

$$P_{c}=4\cdot P_{p} \\

P_{c}=4\cdot36 \\

P_{c}=144$$

Krok 3. Obliczenie pola pojedynczej ściany bocznej.

Skoro pole powierzchni całkowitej jest równe \(144\), a pole podstawy jest równe \(36\), to pole wszystkich czterech ścian bocznych będzie równe:

$$P_{b}=P_{c}-P_{p} \\

P_{b}=144-36 \\

P_{b}=108$$

My takich ścian mamy cztery, zatem każda z nich (np. ściana \(BCS\)) ma pole powierzchni równe:

$$P_{BCS}=108:4 \\

P_{BCS}=27$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.

Spójrzmy na jedną ze ścian bocznych, np. na trójkąt \(BCS\). Jest to trójkąt o podstawie równej \(6\) i polu powierzchni równym \(27\). W związku z tym w prosty sposób możemy wyznaczyć wysokość tego trójkąta:

$$P=\frac{1}{2}ah_{b} \\

27=\frac{1}{2}\cdot6\cdot h_{b} \\

54=6h_{b} \\

h_{b}=9$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.

Spójrzmy na niebieski trójkąt \(SOE\). Odcinek \(OE\) to będzie długość równa połowie krawędzi podstawy, czyli:

$$|OE|=6:2 \\

|OE|=3$$

Wiemy też, że \(SE\) ma długość \(9\). Jedynym niewiadomym bokiem w tym trójkącie jest więc odcinek \(SO\), czyli wysokość ostrosłupa. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

$$H^2+3^2=9^2 \\

H^2+9=81 \\

H^2=72 \\

H=6\sqrt{2}$$

Krok 6. Obliczenie długości krawędzi bocznej.

Spójrzmy na trójkąt \(AOS\) i obliczmy długość krawędzi bocznej \(AS\). Odcinek \(AO\) to połowa długości przekątnej podstawy. Skoro mamy kwadrat o boku \(6\), to cała przekątna ma długość \(6\sqrt{2}\), czyli:

$$|AO|=6\sqrt{2}:2 \\

|AO|=3\sqrt{2}$$

Odcinek \(SO\) (czyli wysokość trójkąta) jest już nam znana, zatem ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

$$(3\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=|AS|^2 \\

9\cdot2+36\cdot2=|AS|^2 \\

18+72=|AS|^2 \\

|AS|^2=90 \\

|AS|=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$$

Krok 7. Obliczenie cosinusa kąta alfa.

Znając długość odcinka \(AO\) oraz \(AS\) bez problemu obliczymy cosinus kąta alfa:

$$cosα=\frac{|AO|}{|AS|} \\

cosα=\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} \\

cosα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} \\

cosα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}} \\

cosα=\frac{1}{\sqrt{5}} \\

cosα=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\

cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-332.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-maj-2019/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-maj-2019%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_