# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2020/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2020 (podstawowa)
- rok: 2020
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[a(a-2b)+2b^2\gt 0\]

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Kluczem do sukcesu jest rozbicie wartości \(2b^2\) na \(b^2+b^2\). Otrzymamy wtedy następującą sytuacje:

$$a(a-2b)+2b^2\gt0 \\

a^2-2ab+b^2+b^2\gt0$$

Wyrażenie \(a^2-2ab+b^2\) możemy "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia do postaci \((a-b)^2\), co sprawi że otrzymamy:

$$(a-b)^2+b^2\gt0$$

Teraz przeanalizujmy co otrzymaliśmy. Wiemy, że \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, zatem \(a-b\) jest na pewno różne od zera. Jakiejkolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też na pewno wartość \((a-b)^2\) jest większa od zera. Analogicznie możemy stwierdzić, że wartość \(b^2\) będzie większa od zera lub równa zero.

Suma \((a-b)^2\) oraz \(b^2\) musi być więc większa od zera, bo do liczby dodatniej dodajemy liczbę większą lub równą zero i właśnie to należało udowodnić.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-maj-2020/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-maj-2020%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) Dane jest równanie: ( ) 0 4 1 5 2 2 m m x m x Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do 
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (10 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 9 ,0 2 8 1 4 1 2 1 > x x x x , gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. 9 Ar
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/9) — Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A = \left\{ x : \frac{3}{x} \leq 1 \right\}\) i \(B = \left\{ x : |x+1| < 3 \right\}\). a) Zaznacz te zbiory na osi liczbo
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie (𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 speł

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_