# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2020/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2020 (podstawowa)
- rok: 2020
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\)

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Rozpisanie długości odcinka \(CE\)

Z własności trójkątów równobocznych wiemy, że \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). To z kolei oznacza, że \(|CD|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Z treści zadania wynika, że odcinek \(CE\) stanowi \(\frac{3}{4}\) odcinka \(CD\), zatem:

$$|CE|=\frac{3}{4}|CD| \\

|CE|=\frac{3}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\

|CE|=\frac{3\sqrt{3}a}{8}$$

Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów \(CEF\) oraz \(CDB\).

Spójrzmy na trójkąty \(CEF\) oraz \(CDB\). Jeden i drugi trójkąt jest prostokątny, czyli wiemy już, że na pewno mają jedną wspólną miarę kątów. Jeden i drugi trójkąt mają też wspólny kąt \(ECF\), zatem już dwa kąty w tych trójkątach są jednakowej miary. To z kolei oznacza, że i trzeci kąt w tych trójkątach musi mieć jednakową miarę. To prowadzi nas do wniosku, że zgodnie z zasadą kąt-kąt-kąt, trójkąt \(CEF\) jest podobny do trójkąta \(CDB\).

Krok 3. Ułożenie równania i wyznaczenie długości odcinka \(CF\).

Skoro trójkąty \(CEF\) oraz \(CDB\) są podobne, to możemy ułożyć następującą proporcję:

$$\frac{|CF|}{|CD|}=\frac{|CE|}{|CB|} \\

\frac{|CF|}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{3\sqrt{3}a}{8}}{a} \\

\frac{|CF|}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{8} \\

|CF|=\frac{3\sqrt{3}}{8}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\

|CF|=\frac{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot a}{8\cdot2} \\

|CF|=\frac{9a}{16}=\frac{9}{16}a$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.

Długość \(a\) jest długością każdego z trzech boków naszego trójkąta, zatem także i boku \(BC\). Możemy więc zapisać, że z obliczeń otrzymaliśmy równanie \(|CF|=\frac{9}{16}|BC|\), czyli dokładnie takie jakie było w treści zadania. To kończy nasze dowodzenie.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-maj-2020/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-maj-2020%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_