# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2020/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2020 (podstawowa)
- rok: 2020
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Ciągi

## Treść

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\ge1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2} \rangle \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Rozpisanie wyrażenia z treści zadania.

Z własności ciągów wiemy, że:

$$a_{2}=a_{1}\cdot q \\

a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$

Podstawiając te dane do naszego równania \(6a_{1}-5a_{2}+a_{3}=0\) otrzymamy:

$$6a_{1}-5\cdot(a_{1}\cdot q)+a_{1}\cdot q^2=0 \\

6a_{1}-5a_{1}\cdot q+a_{1}\cdot q^2=0$$

I teraz kluczowy moment zadania. Aby rozwiązać to równanie musimy wyłączyć \(a_{1}\) przed nawias, otrzymując:

$$a_{1}\cdot(6-5q+q^2)=0 \quad\bigg/:a_{1} \\

6-5q+q^2=0 \\

q^2-5q+6=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

W trakcie obliczeń otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:

Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)

$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$q_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\

q_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.

Z treści zadania wynika, że \(q\) musi należeć do przedziału \((2\sqrt{2}, 3\sqrt{2})\). Przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,41\) możemy założyć, że nasz iloraz \(q\) musi być większy od około \(2,82\) i mniejszy od \(4,23\). Taki warunek spełnia jedynie \(q=3\) i to będzie nasza jedyna odpowiedź do tego zadania.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(q=3\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-maj-2020/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-maj-2020%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_