# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · luty 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi

## Treść

Ciąg geometryczny \( (a_n) \) określony jest wzorem \( a_n=\frac{3^n}{4} \). Iloraz tego ciągu jest równy:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Aby znaleźć iloraz ciągu geometrycznego, wykorzystamy definicję: iloraz \(q\) to stosunek dowolnego wyrazu do wyrazu poprzedzającego.

**Krok 1: Zapisujemy wzór na iloraz**

$$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

**Krok 2: Obliczamy \(a_{n+1}\)**

Podstawiamy \(n+1\) do wzoru na \(a_n\):

$$a_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{4}$$

**Krok 3: Obliczamy iloraz**

$$q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{4}}{\frac{3^n}{4}}$$

**Krok 4: Upraszczamy ułamek**

Dzielimy ułamek przez ułamek (mnożymy przez odwrotność):

$$q = \frac{3^{n+1}}{4} \cdot \frac{4}{3^n} = \frac{3^{n+1} \cdot 4}{4 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+1}}{3^n}$$

**Krok 5: Stosujemy właściwość potęg**

$$q = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3^1 = 3$$

**Weryfikacja:** Sprawdźmy na konkretnych wyrazach:
- \(a_1 = \frac{3^1}{4} = \frac{3}{4}\)
- \(a_2 = \frac{3^2}{4} = \frac{9}{4}\)
- \(q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{9/4}{3/4} = \frac{9}{3} = 3\) ✓

**Odpowiedź: A**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_