# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · luty 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma długość \(25\), a najkrótszy \(7\). Tangens najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2014-14.png]

Oznaczmy boki trójkąta prostokątnego:
- przeciwprostokątna (najdłuższy bok): \(c = 25\)
- najkrótszy bok (jedna z przyprostokątnych): \(a = 7\)
- druga przyprostokątna: \(b = ?\)

**Krok 2: Znajdźmy długość drugiej przyprostokątnej**

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2 + b^2 = c^2$$

$$7^2 + b^2 = 25^2$$

$$49 + b^2 = 625$$

$$b^2 = 576$$

$$b = 24$$

**Krok 3: Określmy najmniejszy kąt**

W trójkącie prostokątnym:
- kąt prosty wynosi \(90°\)
- dwa kąty ostre sumują się do \(90°\)

Najmniejszy kąt ostry leży **naprzeciwko najkrótszego boku**.

Zatem najmniejszy kąt (oznaczmy go \(\alpha\)) leży naprzeciwko boku o długości \(7\).

**Krok 4: Obliczmy tangens najmniejszego kąta**

Dla kąta \(\alpha\):
- przeciwprostokątna: \(25\)
- przyprostokątna przeciwległa: \(7\)
- przyprostokątna przyległa: \(24\)

$$\tan(\alpha) = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}} = \frac{7}{24}$$

**Odpowiedź: A**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_