# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · luty 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria

## Treść

Jeżeli wysokość stożka zwiększymy trzykrotnie, a długość promienia zmniejszymy trzy razy, to objętość nowego stożka:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2014-23.png]

Oznacza się dane z treści zadania:
- początkowy promień podstawy: \(r\)
- początkowa wysokość: \(h\)
- nowy promień: \(r' = \frac{r}{3}\)
- nowa wysokość: \(h' = 3h\)

**Krok 2: Wzór na objętość stożka**

Objętość stożka dana jest wzorem:
$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

**Krok 3: Oblicza się objętość początkową**

$$V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

**Krok 4: Oblicza się objętość nowego stożka**

Podstawia się \(r' = \frac{r}{3}\) i \(h' = 3h\):

$$V_2 = \frac{1}{3}\pi (r')^2 h' = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{r}{3}\right)^2 \cdot 3h$$

$$V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{r^2}{9} \cdot 3h = \frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot \frac{3h}{9}$$

$$V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot \frac{h}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

**Krok 5: Porównuje się objętości**

$$V_2 = \frac{1}{3} \cdot V_1$$

Zatem nowa objętość jest trzy razy mniejsza od początkowej.

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_