# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · luty 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

Udowodnij, że reszta z dzielenia liczby \( 34429^3 \) przez \( 17 \) jest równa \( 13 \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Musimy znaleźć resztę z dzielenia \( 34429^3 \) przez \( 17 \).

**Krok 1:** Znajdźmy resztę z dzielenia \( 34429 \) przez \( 17 \).

Dzielimy \( 34429 \) przez \( 17 \):

$$34429 = 17 \cdot 2025 + r$$

Obliczamy \( 17 \cdot 2025 = 34425 \)

Zatem:
$$34429 = 34425 + 4$$

Więc \( 34429 \equiv 4 \pmod{17} \)

**Krok 2:** Korzystamy z własności kongruencji.

Jeśli \( 34429 \equiv 4 \pmod{17} \), to:

$$34429^3 \equiv 4^3 \pmod{17}$$

**Krok 3:** Obliczamy \( 4^3 \).

$$4^3 = 64$$

**Krok 4:** Znajdujemy resztę z dzielenia \( 64 \) przez \( 17 \).

Dzielimy \( 64 \) przez \( 17 \):

$$64 = 17 \cdot 3 + 13$$

bo \( 17 \cdot 3 = 51 \), a \( 64 - 51 = 13 \)

**Wniosek:**

$$34429^3 \equiv 13 \pmod{17}$$

Oznacza to, że reszta z dzielenia liczby \( 34429^3 \) przez \( 17 \) wynosi \( 13 \).

$$\boxed{\text{c.b.d.u.}}$$

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (7 pkt) Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że 3 3 7 2 5 7 2 5 jest liczbą całkowitą. 10 Arkusz II Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że na
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-listopad-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (6 pkt) Dane są zbiory: { } : 5 3 A x R x ∈ ≥ , { } 2 : 9 0 B x R x ∈ ≥ i 1 : 1 1 x C x R x ⎧ ⎫ ∈ ≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory B A, 
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/34) — Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o \(10\) dni od pracownika niewykwalifikowanego. Aby pracę wykonać szybciej, powierzono
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (5 pkt) Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_