# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · luty 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Udowodnij, że punkty \( A=(1,2), B=(-2,8)\) i \( C=(-25,54) \) są współliniowe.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Punkty są współliniowe, gdy leżą na jednej prostej. Sprawdzimy to na dwa sposoby.

## Sposób I: Współliniowość przez wektory

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) są współliniowe, gdy wektory \(\overrightarrow{AB}\) i \(\overrightarrow{AC}\) są równoległe (jeden jest wielokrotnością drugiego).

**Oblicza się wektor \(\overrightarrow{AB}\):**

$$\overrightarrow{AB} = [B_x - A_x, B_y - A_y] = [-2-1, 8-2] = [-3, 6]$$

**Oblicza się wektor \(\overrightarrow{AC}\):**

$$\overrightarrow{AC} = [C_x - A_x, C_y - A_y] = [-25-1, 54-2] = [-26, 52]$$

**Sprawdza się, czy \(\overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB}\) dla pewnego \(k \in \mathbb{R}\):**

$$[-26, 52] = k \cdot [-3, 6]$$

Z pierwszej współrzędnej:
$$-26 = k \cdot (-3) \implies k = \frac{-26}{-3} = \frac{26}{3}$$

Z drugiej współrzędnej:
$$52 = k \cdot 6 \implies k = \frac{52}{6} = \frac{26}{3}$$

Otrzymaliśmy tę samą wartość \(k = \frac{26}{3}\), więc:

$$\overrightarrow{AC} = \frac{26}{3} \cdot \overrightarrow{AB}$$

## Sposób II: Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

**Wyznacza się równanie prostej przez punkty \(A\) i \(B\):**

Współczynnik kierunkowy:
$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{8-2}{-2-1} = \frac{6}{-3} = -2$$

Równanie prostej \(AB\): \(y - y_A = a(x - x_A)\)

$$y - 2 = -2(x - 1)$$
$$y - 2 = -2x + 2$$
$$y = -2x + 4$$

**Sprawdza się, czy punkt \(C=(-25, 54)\) należy do tej prostej:**

$$y_C = -2 \cdot (-25) + 4 = 50 + 4 = 54 \checkmark$$

Punkt \(C\) spełnia równanie prostej \(AB\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_