# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · luty 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Prawdopodobieństwo

## Treść

Ze zbioru liczb \( {1, 2, 3, 4, 5, 6} \) losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą podzielną przez \( 3 \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych

Losujemy dwa razy po jednej liczbie **bez zwracania** ze zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).

Liczba wszystkich możliwych wyników (par uporządkowanych):
$$|Ω| = 6 \cdot 5 = 30$$

(pierwsza liczba: 6 możliwości, druga liczba: 5 możliwości, bo nie zwracamy)

## Krok 2: Analiza podzielności przez 3

Sprawdźmy reszty z dzielenia liczb ze zbioru przez 3:
- \(1 \equiv 1 \pmod{3}\)
- \(2 \equiv 2 \pmod{3}\)
- \(3 \equiv 0 \pmod{3}\)
- \(4 \equiv 1 \pmod{3}\)
- \(5 \equiv 2 \pmod{3}\)
- \(6 \equiv 0 \pmod{3}\)

Pogrupujmy liczby według reszt:
- Reszta 0: \(\{3, 6\}\) — 2 liczby
- Reszta 1: \(\{1, 4\}\) — 2 liczby
- Reszta 2: \(\{2, 5\}\) — 2 liczby

## Krok 3: Warunek podzielności sumy przez 3

Suma dwóch liczb jest podzielna przez 3, gdy suma ich reszt jest podzielna przez 3.

Możliwe kombinacje reszt:
- \(0 + 0 \equiv 0 \pmod{3}\) ✓
- \(1 + 2 \equiv 0 \pmod{3}\) ✓
- \(2 + 1 \equiv 0 \pmod{3}\) ✓

## Krok 4: Zliczenie korzystnych zdarzeń

**Przypadek 1:** Obie liczby z grupy "reszta 0"
$$2 \cdot 1 = 2 \text{ pary: } (3,6), (6,3)$$

**Przypadek 2:** Pierwsza z grupy "reszta 1", druga z grupy "reszta 2"
$$2 \cdot 2 = 4 \text{ pary: } (1,2), (1,5), (4,2), (4,5)$$

**Przypadek 3:** Pierwsza z grupy "reszta 2", druga z grupy "reszta 1"
$$2 \cdot 2 = 4 \text{ pary: } (2,1), (2,4), (5,1), (5,4)$$

Łącznie zdarzeń sprzyjających:
$$|A| = 2 + 4 + 4 = 10$$

## Krok 5: Obliczenie prawdopodobieństwa

$$P(A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{1}{3}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{1}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 96](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/96) — Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co naj
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/6) — Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\), \(\mathcal{P}_3\). Stosunek liczby bochenków chleba d
- [Zadanie 76](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/76) — Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana lic
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) W pudełku umieszczono 𝑛 kul (𝑛≥3) wśród których dokładnie 2 kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i od

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_