# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · luty 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

Ciąg \( (2x – 1, y, 6x + 3)\ \) jest arytmetyczny, a ciąg \( (3, y, 27)\ \) jest geometryczny rosnący. Oblicz \(x\) i \(y\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Korzysta się z definicji ciągu arytmetycznego i geometrycznego.

## Warunek dla ciągu arytmetycznego

Ciąg \((2x - 1, y, 6x + 3)\) jest arytmetyczny, więc różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:

$$y - (2x - 1) = (6x + 3) - y$$

Upraszcza się:

$$y - 2x + 1 = 6x + 3 - y$$

$$2y = 6x + 3 + 2x - 1$$

$$2y = 8x + 2$$

$$y = 4x + 1 \quad \text{(równanie 1)}$$

## Warunek dla ciągu geometrycznego

Ciąg \((3, y, 27)\) jest geometryczny, więc iloraz kolejnych wyrazów jest stały:

$$\frac{y}{3} = \frac{27}{y}$$

Mnoży się obie strony przez \(3y\):

$$y^2 = 81$$

$$y = 9 \quad \text{lub} \quad y = -9$$

## Ustalenie znaku \(y\)

Ciąg geometryczny jest rosnący. Sprawdza się oba przypadki:

- Dla \(y = 9\): ciąg to \((3, 9, 27)\) — iloraz \(q = 3 > 1\), więc ciąg rosnący ✓
- Dla \(y = -9\): ciąg to \((3, -9, 27)\) — wyrazy zmieniają znak, więc nie jest rosnący ✗

Zatem \(y = 9\).

## Obliczenie \(x\)

Podstawia się \(y = 9\) do równania (1):

$$9 = 4x + 1$$

$$8 = 4x$$

$$x = 2$$

## Sprawdzenie

Dla \(x = 2\) i \(y = 9\):
- Ciąg arytmetyczny: \((2 \cdot 2 - 1, 9, 6 \cdot 2 + 3) = (3, 9, 15)\) — różnica \(r = 6\) ✓
- Ciąg geometryczny: \((3, 9, 27)\) — iloraz \(q = 3\), rosnący ✓

**Odpowiedź:** \(x = 2\), \(y = 9\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(x=2\), \(y=9\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_