# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · luty 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Stereometria

## Treść

Drut o długości \(96\) cm wykorzystano w całości na wykonanie szkieletu ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wszystkich krawędziach równej długości. Zaznacz na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy i wyznacz cosinus tego kąta.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2014-32.png]

Wyznacza się cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy.

## Krok 2: Określenie długości krawędzi

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma:
- podstawę będącą kwadratem (4 krawędzie)
- 4 krawędzie boczne

Wszystkie krawędzie są równej długości, więc ostrosłup ma łącznie 8 krawędzi.

Długość drutu: $$8a = 96 \text{ cm}$$

Zatem: $$a = 12 \text{ cm}$$

## Krok 3: Układ współrzędnych i oznaczenia

Umieszczam podstawę w płaszczyźnie \(xy\) ze środkiem w początku układu:
- \(A = (6, 6, 0)\)
- \(B = (-6, 6, 0)\)
- \(C = (-6, -6, 0)\)
- \(D = (6, -6, 0)\)
- \(S = (0, 0, h)\) — wierzchołek

gdzie \(h\) to wysokość ostrosłupa.

## Krok 4: Wyznaczenie wysokości ostrosłupa

Z warunku, że krawędź boczna ma długość 12 cm:

$$|SA| = 12$$

$$\sqrt{6^2 + 6^2 + h^2} = 12$$

$$\sqrt{72 + h^2} = 12$$

$$72 + h^2 = 144$$

$$h^2 = 72$$

$$h = 6\sqrt{2} \text{ cm}$$

## Krok 5: Znalezienie kąta nachylenia ściany bocznej

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między płaszczyzną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy.

Rozważam ścianę boczną \(SAB\). Aby wyznaczyć ten kąt, wyznacza się:
- punkt \(M\) — środek krawędzi \(AB\): \(M = (0, 6, 0)\)
- odcinek \(SM\) leży w płaszczyźnie ściany i jest prostopadły do \(AB\)
- odcinek \(OM\) leży w płaszczyźnie podstawy i jest prostopadły do \(AB\)

Szukany kąt \(\alpha = \angle SMO\).

## Krok 6: Obliczenie długości odcinków

$$|OM| = 6 \text{ cm}$$ (promień okręgu wpisanego w podstawę)

$$|SM| = \sqrt{|SO|^2 + |OM|^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ cm}$$

## Krok 7: Wyznaczenie cosinusa kąta

Z trójkąta prostokątnego \(SMO\):

$$\cos \alpha = \frac{|OM|}{|SM|} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

## Zaznaczenie kąta na rysunku

Kąt \(\alpha\) to kąt między odcinkiem \(SM\) (apotema ściany bocznej) a odcinkiem \(OM\) (apotema podstawy), mierzony w płaszczyźnie przekroju przez wysokość ostrosłupa.

**Odpowiedź:** $$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_