# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · luty 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Rysunek obok przedstawia wykres funkcji kwadratowej \( f \). Zapisz wzór funkcji \( f \) w postaci ogólnej i podaj jej zbiór wartości.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Odczytanie informacji z wykresu

Z wykresu odczytujemy:
- Wierzchołek paraboli: $$W = (-1, 4)$$
- Punkt przecięcia z osią OY: $$(0, 3)$$
- Ramiona paraboli skierowane w dół (funkcja ma maksimum)

## Krok 2: Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej

Ponieważ znamy wierzchołek, użyjemy postaci kanonicznej:
$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$

gdzie $$W = (p, q) = (-1, 4)$$

Zatem:
$$f(x) = a(x - (-1))^2 + 4 = a(x + 1)^2 + 4$$

## Krok 3: Wyznaczenie parametru \(a\)

Wykorzystujemy fakt, że wykres przechodzi przez punkt $$(0, 3)$$:
$$f(0) = 3$$
$$a(0 + 1)^2 + 4 = 3$$
$$a \cdot 1 + 4 = 3$$
$$a = -1$$

## Krok 4: Przekształcenie do postaci ogólnej

$$f(x) = -1(x + 1)^2 + 4$$
$$f(x) = -(x^2 + 2x + 1) + 4$$
$$f(x) = -x^2 - 2x - 1 + 4$$
$$f(x) = -x^2 - 2x + 3$$

## Krok 5: Wyznaczenie zbioru wartości

Ponieważ:
- ramiona paraboli są skierowane w dół ($$a = -1 < 0$$)
- wierzchołek znajduje się w punkcie $$(-1, 4)$$

funkcja przyjmuje maksimum równe 4 dla $$x = -1$$ i może przyjmować wszystkie wartości mniejsze lub równe 4.

$$ZW = (-\infty; 4]$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(f(x)=-x^2-2x+3\)\(ZW=(-\infty ;4\rangle \)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_