# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · luty 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o \(10\) dni od pracownika niewykwalifikowanego. Aby pracę wykonać szybciej, powierzono ją obu robotnikom, którzy pracując razem, wykonali ją w ciągu \(12\) dni. W ciągu ilu dni wykonałby pracę każdy robotnik pracując samodzielnie?

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy czas pracy niewykwalifikowanego robotnika przez \(x\) dni.

## Krok 1: Ustalenie czasów pracy

Skoro wykwalifikowany robotnik pracuje o 10 dni krócej:
- niewykwalifikowany robotnik wykonałby pracę w \(x\) dni
- wykwalifikowany robotnik wykonałby pracę w \(x - 10\) dni

## Krok 2: Wydajność robotników

Jeśli całą pracę oznaczymy jako 1, to:
- wydajność niewykwalifikowanego: \(\frac{1}{x}\) pracy dziennie
- wydajność wykwalifikowanego: \(\frac{1}{x-10}\) pracy dziennie

## Krok 3: Praca wspólna

Pracując razem przez 12 dni, wykonali całą pracę:

$$\text{wydajność wspólna} \times 12 = 1$$

$$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10}\right) \times 12 = 1$$

## Krok 4: Rozwiązanie równania

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{12}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika po lewej stronie:

$$\frac{x-10 + x}{x(x-10)} = \frac{1}{12}$$

$$\frac{2x - 10}{x(x-10)} = \frac{1}{12}$$

Mnożymy obie strony przez \(12 \cdot x(x-10)\):

$$12(2x - 10) = x(x - 10)$$

$$24x - 120 = x^2 - 10x$$

$$x^2 - 10x - 24x + 120 = 0$$

$$x^2 - 34x + 120 = 0$$

## Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego

Obliczamy deltę:

$$\Delta = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$$

$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{676} = 26$$

$$x_1 = \frac{34 + 26}{2} = \frac{60}{2} = 30$$

$$x_2 = \frac{34 - 26}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

## Krok 6: Sprawdzenie rozwiązań

Dla \(x_2 = 4\): wykwalifikowany pracowałby \(4 - 10 = -6\) dni — **niemożliwe**

Dla \(x_1 = 30\): wykwalifikowany pracowałby \(30 - 10 = 20\) dni — **poprawne**

## Krok 7: Weryfikacja

Sprawdzamy, czy pracując razem wykonają pracę w 12 dni:

$$12 \cdot \left(\frac{1}{30} + \frac{1}{20}\right) = 12 \cdot \left(\frac{2}{60} + \frac{3}{60}\right) = 12 \cdot \frac{5}{60} = 12 \cdot \frac{1}{12} = 1$$ ✓

## Odpowiedź

**Niewykwalifikowany robotnik** wykonałby pracę w **30 dni**.

**Wykwalifikowany robotnik** wykonałby pracę w **20 dni**.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(20\) dni oraz \(30\) dni

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (7 pkt) Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że 3 3 7 2 5 7 2 5 jest liczbą całkowitą. 10 Arkusz II Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że na
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-listopad-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (6 pkt) Dane są zbiory: { } : 5 3 A x R x ∈ ≥ , { } 2 : 9 0 B x R x ∈ ≥ i 1 : 1 1 x C x R x ⎧ ⎫ ∈ ≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory B A, 
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (5 pkt) Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na 
- [Zadanie 95](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/95) — Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\).

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_