# Matematyka — zadanie 6

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/6
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · luty 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Logarytmy

## Treść

Liczba \( \left ( \log_{\sqrt{3}}3\sqrt{3} \right )^4 \) jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oblicza się wartość wyrażenia \( \left ( \log_{\sqrt{3}}3\sqrt{3} \right )^4 \).

## Krok 1: Uproszczenie argumentu logarytmu

Przekształca się \( 3\sqrt{3} \):
$$3\sqrt{3} = 3 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + 1/2} = 3^{3/2}$$

## Krok 2: Wyrażenie podstawy logarytmu jako potęga

Przekształca się podstawę \( \sqrt{3} \):
$$\sqrt{3} = 3^{1/2}$$

## Krok 3: Obliczenie logarytmu

Stosuje się wzór na zamianę podstawy lub wzór:
$$\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$$

Zachodzi:
$$\log_{\sqrt{3}}3\sqrt{3} = \log_{3^{1/2}}3^{3/2}$$

Korzysta się ze wzoru \( \log_{a^k} a^m = \frac{m}{k} \):
$$\log_{3^{1/2}}3^{3/2} = \frac{3/2}{1/2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3$$

## Krok 4: Podniesienie do czwartej potęgi

$$\left ( \log_{\sqrt{3}}3\sqrt{3} \right )^4 = 3^4 = 81$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/6)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014%2Fzad%2F6)

## Podobne zadania

- [Zadanie 39](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/39) — Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę -
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Wykaż, że jeżeli log54 = 𝑎 oraz log43 = 𝑏, to log1280 = 2𝑎 + 1 𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) . Wypełnia egzaminator Nr zadania 5. 6. Maks. liczba pkt 2 3 Uzyskan
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-pokazowa-marzec-2022/zad/1) — Dane są liczby \(a = \log_2 3\) oraz \(b = \log_3 7\). **Wyraź \(\log_4 49\) za pomocą liczb \(a\) oraz \(b\).** Zapisz obliczenia.
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/1) — Dane są liczby rzeczywiste \(a\) oraz \(b\): \[a = 16^{\frac{1}{2} \cdot \log_4 36 - 2 \cdot \log_4 3}\] \[b = \log_2 9 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8\] Oblicz w

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_