# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · luty 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Na trójkącie równoramiennym \( ABC \), w którym \( \vert{AC}\vert=\vert{BC}\vert \) opisano okrąg o środku \( O \). Prosta \( k \) jest styczna do tego okręgu w punkcie \( B \) i \( \vert{\sphericalangle BOC}\vert=140^\circ \). Kąt \( \alpha \) ma miarę

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Dane
- Trójkąt równoramienny \(ABC\), gdzie \(|AC| = |BC|\)
- Okrąg opisany na trójkącie ma środek \(O\)
- Prosta \(k\) jest styczna do okręgu w punkcie \(B\)
- \(|\sphericalangle BOC| = 140°\)
- Szukamy miary kąta \(\alpha\)

## Krok 1: Określenie, czym jest kąt \(\alpha\)

Z kontekstu zadania (styczna w punkcie \(B\)) kąt \(\alpha\) to prawdopodobnie kąt między styczną \(k\) a cięciwą \(BC\).

## Krok 2: Związek między kątem środkowym a kątem wpisanym

Kąt środkowy \(\sphericalangle BOC = 140°\) odpowiada łukowi \(BC\). Kąt wpisany oparty na tym samym łuku (czyli \(\sphericalangle BAC\)) ma miarę:

$$\sphericalangle BAC = \frac{1}{2} \cdot 140° = 70°$$

## Krok 3: Wykorzystanie własności trójkąta równoramiennego

Ponieważ \(|AC| = |BC|\), to trójkąt \(ABC\) jest równoramienny z podstawą \(AB\). Zatem:

$$\sphericalangle CAB = \sphericalangle CBA = 70°$$

## Krok 4: Własność kąta między styczną a cięciwą

Kąt między styczną do okręgu a cięciwą wychodzącą z punktu styczności równa się kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie (od drugiej strony).

Styczna \(k\) w punkcie \(B\) tworzy z cięciwą \(BC\) kąt, który jest równy kątowi wpisanemu \(\sphericalangle BAC\) (opartemu na cięciwie \(BC\)):

$$\alpha = \sphericalangle BAC = 70°$$

## Krok 5: Weryfikacja

Sprawdza się inną interpretację: jeśli \(\alpha\) to kąt między styczną a promieniem \(OB\), to byłby prosty (90°), co nie pasuje do odpowiedzi B.

Jeśli \(\alpha\) to kąt przy podstawie trójkąta, ale mierzony od drugiej strony stycznej, to:

$$\alpha = 180° - 70° - 70° = 40°$$

To odpowiada kątowi \(\sphericalangle ACB\) w trójkącie.

**Odpowiedź: B** (\(40°\))

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_