# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Proste \(AD\) i \(BC\) są równoległe. Długości odcinków \(ED\), \(DC\) oraz \(AB\) podane są na rysunku. Długość odcinka \(EA\) jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Skoro proste \(AD\) i \(BC\) są równoległe, mamy do czynienia z twierdzeniem Talesa.

## Analiza sytuacji

Z rysunku odczytuje się:
- \(ED = 6\)
- \(DC = 9\)
- \(AB = 12\)
- Szukamy: \(EA = ?\)

Punkt \(E\) leży na przecięciu się odcinków \(AC\) i \(BD\).

## Zastosowanie twierdzenia Talesa

Ponieważ \(AD \parallel BC\), to trójkąty \(EAD\) i \(EBC\) są podobne (kąty wierzchołkowe przy \(E\) są równe, a kąty naprzemianległe są równe).

Z podobieństwa trójkątów:
$$\frac{EA}{EC} = \frac{ED}{EB} = \frac{AD}{BC}$$

## Wykorzystanie proporcji

Rozpatrzmy proporcję dla odcinków na przekątnej \(BD\):
$$\frac{EA}{EC} = \frac{ED}{EB}$$

Wiemy, że:
- \(ED = 6\)
- \(EB = ED + DC = 6 + 9 = 15\) (nie, to błąd — \(DC\) nie leży na \(BD\))

Poprawnie: Z podobieństwa trójkątów \(EAD\) i \(ECB\):
$$\frac{EA}{EC} = \frac{ED}{EB} = \frac{AD}{CB}$$

oraz

$$\frac{EA}{EA + AC} = \frac{ED}{ED + DB}$$

## Użycie twierdzenia Talesa w trapezie

W trapezzie z przekątnymi, jeśli \(AD \parallel BC\), to:
$$\frac{EA}{EC} = \frac{ED}{EB}$$

Ponadto z podobieństwa:
$$\frac{EA}{AB} = \frac{ED}{DC}$$

Podstawiamy dane:
$$\frac{EA}{12} = \frac{6}{9}$$

$$EA = 12 \cdot \frac{6}{9} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$$

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_