# Matematyka — zadanie 18

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/18
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Punkty \(A, B, C, D\) i \(E\) leżą na okręgu o środku \(S\) i dzielą ten okrąg na pięć łuków równej długości (zobacz rysunek). Wówczas miara kąta ostrego \(\alpha \) między cięciwą \(AB\) i styczną do tego okręgu w punkcie \(A\) jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozwiązuje się krok po kroku.

**Krok 1: Analiza podziału okręgu**

Punkty \(A, B, C, D, E\) dzielą okrąg na 5 równych łuków. Pełny kąt wynosi \(360°\), więc każdy łuk odpowiada kątowi środkowemu:

$$\frac{360°}{5} = 72°$$

**Krok 2: Kąt środkowy dla łuku AB**

Kąt środkowy \(\angle ASB\) oparty na łuku \(AB\) wynosi:

$$\angle ASB = 72°$$

**Krok 3: Zastosowanie twierdzenia o kącie między cięciwą a styczną**

Kąt między cięciwą \(AB\) a styczną w punkcie \(A\) jest równy połowie kąta środkowego opartego na łuku \(AB\), który leży po tej samej stronie co styczna.

Alternatywnie, korzystamy z faktu, że:
- Styczna w punkcie \(A\) jest prostopadła do promienia \(SA\)
- Trójkąt \(SAB\) jest równoramienny (bo \(SA = SB\) jako promienie)

**Krok 4: Obliczenie kąta α**

W trójkącie równoramiennym \(SAB\):
- Kąt przy wierzchołku \(S\): \(\angle ASB = 72°\)
- Kąty przy podstawie są równe: \(\angle SAB = \angle SBA\)

Suma kątów w trójkącie:

$$\angle SAB + \angle SBA + 72° = 180°$$

$$2\angle SAB = 108°$$

$$\angle SAB = 54°$$

**Krok 5: Znalezienie kąta α**

Styczna w punkcie \(A\) jest prostopadła do promienia \(SA\), więc kąt między styczną a promieniem \(SA\) wynosi \(90°\).

Kąt \(\alpha\) między styczną a cięciwą \(AB\) to:

$$\alpha = 90° - \angle SAB = 90° - 54° = 36°$$

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/18)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2%2Fzad%2F18)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_