# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla \(n\ge 1\) wzorem \(a_n=-n^2-4\sqrt{3}\) . Sprawdź którym wyrazem tego ciągu jest liczba \(-3^2-(2+\sqrt{3})^2\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Musimy sprawdzić, dla jakiego \(n\) zachodzi równość \(a_n = -3^2-(2+\sqrt{3})^2\).

**Krok 1: Uprośćmy prawą stronę równania**

Rozwijamy wyrażenie:
$$-3^2-(2+\sqrt{3})^2 = -9 - (2+\sqrt{3})^2$$

Obliczamy \((2+\sqrt{3})^2\):
$$(2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$$

Zatem:
$$-9 - (7 + 4\sqrt{3}) = -9 - 7 - 4\sqrt{3} = -16 - 4\sqrt{3}$$

**Krok 2: Przyrównujemy do wzoru ogólnego**

Mamy \(a_n = -n^2 - 4\sqrt{3}\), więc szukamy \(n\) takiego, że:
$$-n^2 - 4\sqrt{3} = -16 - 4\sqrt{3}$$

**Krok 3: Rozwiązujemy równanie**

Dodajemy \(4\sqrt{3}\) do obu stron:
$$-n^2 = -16$$

Mnożymy przez \(-1\):
$$n^2 = 16$$

Zatem:
$$n = 4 \quad \text{lub} \quad n = -4$$

**Krok 4: Wybieramy odpowiednie rozwiązanie**

Ponieważ ciąg jest określony dla \(n \geq 1\), to \(n = 4\).

**Weryfikacja:**
$$a_4 = -4^2 - 4\sqrt{3} = -16 - 4\sqrt{3} \,\checkmark$$

**Odpowiedź:** Liczba \(-3^2-(2+\sqrt{3})^2\) jest czwartym wyrazem ciągu \((a_n)\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** czwartym

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_