# Matematyka — zadanie 25

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/25
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,z\) takich, że \(x+y+z=3\) prawdziwa jest nierówność: \(x^2+y^2+z^2\ge 3\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Zastosujemy nierówność między średnią kwadratową a średnią arytmetyczną.

## Krok 1: Przypomnienie nierówności QM-AM

Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a, b, c\) zachodzi:
$$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \ge \frac{a+b+c}{3}$$

## Krok 2: Podstawienie do nierówności

Podstawiamy \(a=x\), \(b=y\), \(c=z\):
$$\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}} \ge \frac{x+y+z}{3}$$

## Krok 3: Wykorzystanie warunku zadania

Z założenia wiemy, że \(x+y+z=3\), więc:
$$\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}} \ge \frac{3}{3} = 1$$

## Krok 4: Podniesienie obu stron do kwadratu

Ponieważ obie strony są nieujemne, możemy podnieść je do kwadratu:
$$\frac{x^2+y^2+z^2}{3} \ge 1$$

## Krok 5: Otrzymanie tezy

Mnożąc obie strony przez 3:
$$x^2+y^2+z^2 \ge 3$$

## Analiza równości

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(x=y=z\).

Z warunku \(x+y+z=3\) otrzymujemy \(3x=3\), czyli \(x=y=z=1\).

Sprawdzenie: \(1^2+1^2+1^2 = 3\) ✓

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/25)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2%2Fzad%2F25)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) Dane jest równanie: ( ) 0 4 1 5 2 2 m m x m x Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do 
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (10 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 9 ,0 2 8 1 4 1 2 1 > x x x x , gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. 9 Ar
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/9) — Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A = \left\{ x : \frac{3}{x} \leq 1 \right\}\) i \(B = \left\{ x : |x+1| < 3 \right\}\). a) Zaznacz te zbiory na osi liczbo
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie (𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 speł

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_