# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Wykaż, że jeżeli ramiona \(AD\) i \(BC\) trapezu \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) zawierają się w prostych prostopadłych (zobacz rysunek), to \(|AB|^2 + |CD|^2 = |AC|^2 + |BD|^2\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy długości podstaw: \( |AB| = a \), \( |CD| = c \), oraz długości ramion: \( |AD| = d_1 \), \( |BC| = d_2 \).

**Krok 1: Wprowadzenie układu współrzędnych**

Ponieważ ramiona \( AD \) i \( BC \) są prostopadłe, umieśćmy trapez w układzie współrzędnych tak, aby:
- prosta zawierająca ramię \( AD \) pokrywała się z osią \( Oy \)
- prosta zawierająca ramię \( BC \) pokrywała się z osią \( Ox \)

Punkt przecięcia tych prostych oznaczmy jako początek układu: \( O = (0, 0) \).

**Krok 2: Określenie współrzędnych wierzchołków**

Niech:
- \( D = (0, y_D) \) dla pewnego \( y_D > 0 \)
- \( A = (0, y_A) \) dla pewnego \( y_A  0 \)
- \( B = (x_B, 0) \) dla pewnego \( x_B > x_C \)

**Krok 3: Warunek równoległości podstaw**

Ponieważ \( AB \parallel CD \), wektory \( \overrightarrow{AB} \) i \( \overrightarrow{CD} \) muszą być równoległe.

$$\overrightarrow{AB} = (x_B, -y_A), \quad \overrightarrow{CD} = (x_C, -y_D)$$

Z warunku równoległości:
$$\frac{x_B}{x_C} = \frac{y_A}{y_D} = k$$

gdzie \( k > 0 \) jest pewnym współczynnikiem.

**Krok 4: Obliczenie kwadratów długości**

$$|AB|^2 = x_B^2 + y_A^2$$
$$|CD|^2 = x_C^2 + y_D^2$$
$$|AC|^2 = (x_C - 0)^2 + (0 - y_A)^2 = x_C^2 + y_A^2$$
$$|BD|^2 = (0 - x_B)^2 + (y_D - 0)^2 = x_B^2 + y_D^2$$

**Krok 5: Sprawdzenie równości**

Lewa strona:
$$|AB|^2 + |CD|^2 = x_B^2 + y_A^2 + x_C^2 + y_D^2$$

Prawa strona:
$$|AC|^2 + |BD|^2 = x_C^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_D^2$$

**Krok 6: Wniosek**

Porównując obie strony:
$$x_B^2 + y_A^2 + x_C^2 + y_D^2 = x_C^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_D^2$$

Równość jest spełniona na mocy przemienności dodawania.

$$\boxed{|AB|^2 + |CD|^2 = |AC|^2 + |BD|^2}$$

Co należało wykazać. □

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_