# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Planimetria

## Treść

Prostokątny pas wykładziny dywanowej o wymiarach \(3{,}6\) m na \(7{,}5\) m należy przeciąć prostopadle do dłuższego boku tak, aby przekątne otrzymanych dwóch prostokątnych kawałków różniły się o \(1{,}5\) m. Oblicz wymiary większego z otrzymanych kawałków.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2012-2-28.png]

Oznaczymy wymiary i ustalimy zależności.

**Dane:**
- Prostokątny pas wykładziny: \(3{,}6\) m × \(7{,}5\) m
- Przecinamy prostopadle do dłuższego boku (czyli prostopadle do boku \(7{,}5\) m)
- Przekątne otrzymanych prostokątów różnią się o \(1{,}5\) m

**Krok 2: Ustalenie wymiarów po przecięciu**

Przecinamy prostopadle do dłuższego boku, więc tnąć będziemy wzdłuż krótszego boku.

Po przecięciu otrzymamy dwa prostokąty o wymiarach:
- Pierwszy prostokąt: \(3{,}6\) m × \(x\) m
- Drugi prostokąt: \(3{,}6\) m × \((7{,}5 - x)\) m

gdzie \(x\) to długość pierwszego kawałka (mierzona wzdłuż dłuższego boku).

**Krok 3: Obliczenie przekątnych**

Przekątna pierwszego prostokąta:
$$d_1 = \sqrt{3{,}6^2 + x^2}$$

Przekątna drugiego prostokąta:
$$d_2 = \sqrt{3{,}6^2 + (7{,}5 - x)^2}$$

**Krok 4: Warunek zadania**

Przekątne różnią się o \(1{,}5\) m. Zakładamy, że \(d_2 > d_1\) (sprawdzimy to później):
$$d_2 - d_1 = 1{,}5$$

$$\sqrt{3{,}6^2 + (7{,}5 - x)^2} - \sqrt{3{,}6^2 + x^2} = 1{,}5$$

**Krok 5: Rozwiązanie równania**

$$\sqrt{12{,}96 + (7{,}5 - x)^2} - \sqrt{12{,}96 + x^2} = 1{,}5$$

$$\sqrt{12{,}96 + (7{,}5 - x)^2} = \sqrt{12{,}96 + x^2} + 1{,}5$$

Podnosimy obie strony do kwadratu:
$$12{,}96 + (7{,}5 - x)^2 = 12{,}96 + x^2 + 3\sqrt{12{,}96 + x^2} + 2{,}25$$

$$56{,}25 - 15x + x^2 = x^2 + 3\sqrt{12{,}96 + x^2} + 2{,}25$$

$$54 - 15x = 3\sqrt{12{,}96 + x^2}$$

$$18 - 5x = \sqrt{12{,}96 + x^2}$$

Ponownie podnosimy do kwadratu:
$$(18 - 5x)^2 = 12{,}96 + x^2$$

$$324 - 180x + 25x^2 = 12{,}96 + x^2$$

$$24x^2 - 180x + 311{,}04 = 0$$

Dzielimy przez 24:
$$x^2 - 7{,}5x + 12{,}96 = 0$$

**Krok 6: Rozwiązanie równania kwadratowego**

$$\Delta = 56{,}25 - 51{,}84 = 4{,}41$$

$$x = \frac{7{,}5 \pm 2{,}1}{2}$$

$$x_1 = \frac{9{,}6}{2} = 4{,}8 \quad \text{lub} \quad x_2 = \frac{5{,}4}{2} = 2{,}7$$

**Krok 7: Wymiary otrzymanych kawałków**

Dla \(x = 4{,}8\):
- Kawałek 1: \(3{,}6\) m × \(4{,}8\) m
- Kawałek 2: \(3{,}6\) m × \(2{,}7\) m

Dla \(x = 2{,}7\) otrzymalibyśmy te same kawałki w odwrotnej kolejności.

**Odpowiedź:**

Wymiary większego kawałka to **\(3{,}6\) m × \(4{,}8\) m** (lub **\(4{,}8\) m × \(3{,}6\) m**).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(4{,}8\) m i \(3{,}6\) m

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_