# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Stereometria

## Treść

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wysokość \(SE\) ściany bocznej \(ADS\) jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a punkt \(E\) jest środkiem krawędzi \(AD\) (zobacz rysunek). Pole ściany \(ADS\) jest równe \(12\) cm 2 , a objętość ostrosłupa jest równa \(48\) cm 3 . Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej \(CS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Wynik zaokrąglij do \(1^\circ \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2012-2-30.png]

Analiza sytuacji geometrycznej stanowi punkt wyjścia do obliczeń.

## Oznaczenia i analiza sytuacji

Niech bok kwadratu \(ABCD\) ma długość \(a\), a wysokość ostrosłupa (czyli \(SE\)) ma długość \(h\).

Ponieważ \(E\) jest środkiem \(AD\) i \(SE\) jest wysokością ostrosłupa, to \(SE \perp ABCD\).

## Krok 2: Pole ściany \(ADS\)

Ściana \(ADS\) jest trójkątem o podstawie \(AD = a\) i wysokości \(SE = h\) (ponieważ \(SE\) jest wysokością tego trójkąta).

$$P_{ADS} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 12$$

Zatem:
$$ah = 24$$

## Krok 3: Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa o podstawie kwadratowej:
$$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = 48$$

Zatem:
$$a^2h = 144$$

## Krok 4: Wyznaczenie \(a\) i \(h\)

Z równań \(ah = 24\) i \(a^2h = 144\):

Dzieląc drugie przez pierwsze:
$$\frac{a^2h}{ah} = \frac{144}{24}$$
$$a = 6 \text{ cm}$$

Podstawiając do pierwszego równania:
$$6h = 24$$
$$h = 4 \text{ cm}$$

## Krok 5: Układ współrzędnych

Przyjmuje się układ współrzędnych z \(E\) jako początkiem:
- \(E = (0, 0, 0)\)
- \(A = (-3, 0, 0)\)
- \(D = (3, 0, 0)\)
- \(B = (-3, 6, 0)\)
- \(C = (3, 6, 0)\)
- \(S = (0, 0, 4)\)

## Krok 6: Kąt nachylenia krawędzi \(CS\)

Kąt nachylenia krawędzi \(CS\) do płaszczyzny podstawy to kąt \(\alpha\) w trójkącie prostokątnym, gdzie:
- przeciwprostokątna to \(CS\)
- przyprostokątne to rzut \(CS\) na podstawę (czyli \(CE\)) i wysokość \(h\)

Oblicza się \(CE\):
$$CE = \sqrt{(3-0)^2 + (6-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ cm}$$

Oblicza się \(CS\):
$$CS = \sqrt{(3-0)^2 + (6-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9 + 36 + 16} = \sqrt{61} \text{ cm}$$

## Krok 7: Wyznaczenie kąta

Kąt nachylenia \(\alpha\) spełnia:
$$\sin \alpha = \frac{h}{CS} = \frac{4}{\sqrt{61}}$$

lub równoważnie:
$$\tan \alpha = \frac{h}{CE} = \frac{4}{3\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{15}$$

Oblicza się:
$$\alpha = \arctan\left(\frac{4\sqrt{5}}{15}\right) = \arctan\left(\frac{4 \cdot 2.236...}{15}\right) = \arctan(0.5963...)$$

$$\alpha \approx 30.8°$$

Zaokrąglając do \(1°\):

$$\boxed{\alpha = 31°}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(31^\circ \)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2012-2%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_