# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · marzec 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, kąty przy ramieniu różnią się o \(50^\circ \). Kąt przy krótszej podstawie tego trapezu jest równy

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-marzec-2013-10.png]

Oznaczmy kąty przy ramieniu trapezu równoramiennego.

**Krok 2: Własności trapezu równoramiennego**

W trapezie równoramiennym:
- kąty przy tej samej podstawie są równe
- suma kątów przy jednym ramieniu wynosi \(180°\) (kąty te są wewnętrznymi kątami jednostronnymi przy równoległych podstawach)

**Krok 3: Oznaczenie kątów**

Niech:
- \(\alpha\) = kąt przy dłuższej podstawie (dolnej)
- \(\beta\) = kąt przy krótszej podstawie (górnej)

Z własności trapeza: \(\alpha + \beta = 180°\)

**Krok 4: Użycie warunku z zadania**

Kąty przy ramieniu różnią się o \(50°\):
$$|\alpha - \beta| = 50°$$

**Krok 5: Określenie, który kąt jest większy**

Ponieważ trapez nie jest równoległobokiem, podstawy mają różne długości. Kąt przy krótszej podstawie jest zawsze większy (kąt rozwarty), a przy dłuższej podstawie jest mniejszy (kąt ostry).

Zatem: \(\beta > \alpha\), więc:
$$\beta - \alpha = 50°$$

**Krok 6: Rozwiązanie układu równań**

Mamy układ:
$$\begin{cases}
\alpha + \beta = 180° \\
\beta - \alpha = 50°
\end{cases}$$

Dodając stronami:
$$2\beta = 230°$$
$$\beta = 115°$$

Sprawdzenie: \(\alpha = 180° - 115° = 65°\)

Różnica: \(115° - 65° = 50°\) ✓

**Odpowiedź: A**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-marzec-2013%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_